Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49296 / 114832
↖ ↑ ↗
← S 79.245389°
W 44.604492°		 ← 56.99 m → S 79.245389°
W 44.601745°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.245901°
W 44.604492°		 ← 56.99 m →
3 246 m²		 S 79.245901°
W 44.601745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376102447509766 y=0.876102447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376102447509766 × 217)
    floor (0.376102447509766 × 131072)
    floor (49296.5)     		tx = 49296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876102447509766 × 217)
    floor (0.876102447509766 × 131072)
    floor (114832.5)     		ty = 114832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49296 / 114832 ti = "17/49296/114832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49296/114832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49296 ÷ 217
    49296 ÷ 131072     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114832 ÷ 217
    114832 ÷ 131072     		y = 0.8760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.752197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36309740367029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36309740367029))-π/2
    2×atan(0.0941282181126894)-π/2
    2×0.0938516908552738-π/2
    0.187703381710548-1.57079632675     		φ = -1.38309295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38309295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.245389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49296 KachelY 114832 -0.77849525 -1.38309295 -44.604492 -79.245389
    Oben rechts KachelX + 1 49297 KachelY 114832 -0.77844731 -1.38309295 -44.601745 -79.245389
    Unten links KachelX 49296 KachelY + 1 114833 -0.77849525 -1.38310189 -44.604492 -79.245901
    Unten rechts KachelX + 1 49297 KachelY + 1 114833 -0.77844731 -1.38310189 -44.601745 -79.245901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38309295--1.38310189) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38309295--1.38310189) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77844731) × cos(-1.38309295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186603105179365 × 6371000     		do = 56.9933914856679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77844731) × cos(-1.38310189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186594322199587 × 6371000     		du = 56.9907089375698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38309295)-sin(-1.38310189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186603105179365-0.186594322199587)×R²
    abs(-0.77844731--0.77849525)×8.78297977807696e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78297977807696e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78297977807696e-06×40589641000000     		ar = 3246.08138592206m²