Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49312 / 49312
↖ ↑ ↗
← S 66.861082°
E 90.878906°		 ← 240.04 m → S 66.861082°
E 90.884400°		 →
↑
240 m
↓
↑
240 m
↓
S 66.863241°
E 90.878906°		 ← 240.02 m →
57 606 m²		 S 66.863241°
E 90.884400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752449035644531 y=0.752449035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752449035644531 × 216)
    floor (0.752449035644531 × 65536)
    floor (49312.5)     		tx = 49312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752449035644531 × 216)
    floor (0.752449035644531 × 65536)
    floor (49312.5)     		ty = 49312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49312 / 49312 ti = "16/49312/49312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49312/49312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49312 ÷ 216
    49312 ÷ 65536     		x = 0.75244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49312 ÷ 216
    49312 ÷ 65536     		y = 0.75244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58613613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58613613462842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58613613} λ = 1.58613613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58613613462842))-π/2
    2×atan(0.20471507705544)-π/2
    2×0.201925149595803-π/2
    0.403850299191607-1.57079632675     		φ = -1.16694603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58613613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16694603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.861082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49312 KachelY 49312 1.58613613 -1.16694603 90.878906 -66.861082
    Oben rechts KachelX + 1 49313 KachelY 49312 1.58623201 -1.16694603 90.884400 -66.861082
    Unten links KachelX 49312 KachelY + 1 49313 1.58613613 -1.16698370 90.878906 -66.863241
    Unten rechts KachelX + 1 49313 KachelY + 1 49313 1.58623201 -1.16698370 90.884400 -66.863241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16694603--1.16698370) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dl = 239.995569999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16694603--1.16698370) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dr = 239.995569999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58613613-1.58623201) × cos(-1.16694603) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.392961805221324 × 6371000     		do = 240.04130030276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58613613-1.58623201) × cos(-1.16698370) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39292716531342 × 6371000     		du = 240.02014046375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16694603)-sin(-1.16698370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392961805221324-0.39292716531342)×R²
    abs(1.58623201-1.58613613)×3.46399079034776e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46399079034776e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46399079034776e-05×40589641000000     		ar = 57606.309562897m²