Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49344 / 16320
↖ ↑ ↗
← N 66.652977°
E 91.054688°		 ← 242.05 m → N 66.652977°
E 91.060181°		 →
↑
242.03 m
↓
↑
242.03 m
↓
N 66.650801°
E 91.054688°		 ← 242.08 m →
58 588 m²		 N 66.650801°
E 91.060181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752937316894531 y=0.249031066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752937316894531 × 216)
    floor (0.752937316894531 × 65536)
    floor (49344.5)     		tx = 49344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249031066894531 × 216)
    floor (0.249031066894531 × 65536)
    floor (16320.5)     		ty = 16320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49344 / 16320 ti = "16/49344/16320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49344/16320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49344 ÷ 216
    49344 ÷ 65536     		x = 0.7529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16320 ÷ 216
    16320 ÷ 65536     		y = 0.2490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    0.505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58920410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2490234375 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58920410} λ = 1.58920410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57693224990137))-π/2
    2×atan(4.84008484194008)-π/2
    2×1.36705511933703-π/2
    2.73411023867405-1.57079632675     		φ = 1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58920410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49344 KachelY 16320 1.58920410 1.16331391 91.054688 66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 49345 KachelY 16320 1.58929997 1.16331391 91.060181 66.652977
    Unten links KachelX 49344 KachelY + 1 16321 1.58920410 1.16327592 91.054688 66.650801
    Unten rechts KachelX + 1 49345 KachelY + 1 16321 1.58929997 1.16327592 91.060181 66.650801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16331391-1.16327592) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dl = 242.034290000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16331391-1.16327592) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dr = 242.034290000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58920410-1.58929997) × cos(1.16331391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 242.054667488399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58920410-1.58929997) × cos(1.16327592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39633401835356 × 6371000     		du = 242.075971245305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16331391)-sin(1.16327592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.39633401835356)×R²
    abs(1.58929997-1.58920410)×3.48791478028132e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48791478028132e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48791478028132e-05×40589641000000     		ar = 58588.1077134725m²