Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49352 / 82120
↖ ↑ ↗
← S 41.393294°
W 44.450683°		 ← 229.08 m → S 41.393294°
W 44.447937°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.395354°
W 44.450683°		 ← 229.07 m →
52 481 m²		 S 41.395354°
W 44.447937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376529693603516 y=0.626529693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376529693603516 × 217)
    floor (0.376529693603516 × 131072)
    floor (49352.5)     		tx = 49352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626529693603516 × 217)
    floor (0.626529693603516 × 131072)
    floor (82120.5)     		ty = 82120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49352 / 82120 ti = "17/49352/82120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49352/82120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49352 ÷ 217
    49352 ÷ 131072     		x = 0.37652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82120 ÷ 217
    82120 ÷ 131072     		y = 0.62652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.2469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77581078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.2530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.794985543299011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77581078} λ = -0.77581078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794985543299011))-π/2
    2×atan(0.451587763344667)-π/2
    2×0.424173526612841-π/2
    0.848347053225682-1.57079632675     		φ = -0.72244927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77581078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.450683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72244927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.393294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49352 KachelY 82120 -0.77581078 -0.72244927 -44.450683 -41.393294
    Oben rechts KachelX + 1 49353 KachelY 82120 -0.77576285 -0.72244927 -44.447937 -41.393294
    Unten links KachelX 49352 KachelY + 1 82121 -0.77581078 -0.72248523 -44.450683 -41.395354
    Unten rechts KachelX + 1 49353 KachelY + 1 82121 -0.77576285 -0.72248523 -44.447937 -41.395354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72244927--0.72248523) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dl = 229.101159999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72244927--0.72248523) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dr = 229.101159999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77581078--0.77576285) × cos(-0.72244927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.750188464648683 × 6371000     		do = 229.079072447845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77581078--0.77576285) × cos(-0.72248523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.750164686546177 × 6371000     		du = 229.071811518194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72244927)-sin(-0.72248523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750188464648683-0.750164686546177)×R²
    abs(-0.77576285--0.77581078)×2.37781025064221e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37781025064221e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37781025064221e-05×40589641000000     		ar = 52481.4494913247m²