Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49407 / 49407
↖ ↑ ↗
← S 67.065293°
E 91.400757°		 ← 238.01 m → S 67.065293°
E 91.406250°		 →
↑
238.02 m
↓
↑
238.02 m
↓
S 67.067433°
E 91.400757°		 ← 237.99 m →
56 649 m²		 S 67.067433°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753898620605469 y=0.753898620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753898620605469 × 216)
    floor (0.753898620605469 × 65536)
    floor (49407.5)     		tx = 49407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753898620605469 × 216)
    floor (0.753898620605469 × 65536)
    floor (49407.5)     		ty = 49407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49407 / 49407 ti = "16/49407/49407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49407/49407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49407 ÷ 216
    49407 ÷ 65536     		x = 0.753890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49407 ÷ 216
    49407 ÷ 65536     		y = 0.753890991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753890991210938 × 2 - 1) × π
    0.507781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.59524415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753890991210938 × 2 - 1) × π
    -0.507781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59524414555623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59524415} λ = 1.59524415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59524414555623))-π/2
    2×atan(0.202858995333887)-π/2
    2×0.200143076304207-π/2
    0.400286152608414-1.57079632675     		φ = -1.17051017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59524415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.400757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17051017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.065293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49407 KachelY 49407 1.59524415 -1.17051017 91.400757 -67.065293
    Oben rechts KachelX + 1 49408 KachelY 49407 1.59534002 -1.17051017 91.406250 -67.065293
    Unten links KachelX 49407 KachelY + 1 49408 1.59524415 -1.17054753 91.400757 -67.067433
    Unten rechts KachelX + 1 49408 KachelY + 1 49408 1.59534002 -1.17054753 91.406250 -67.067433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17051017--1.17054753) × R
    3.73599999998753e-05 × 6371000     		dl = 238.020559999205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17051017--1.17054753) × R
    3.73599999998753e-05 × 6371000     		dr = 238.020559999205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59524415-1.59534002) × cos(-1.17051017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389681894223103 × 6371000     		do = 238.0129351819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59524415-1.59534002) × cos(-1.17054753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389647487277031 × 6371000     		du = 237.991919840036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17051017)-sin(-1.17054753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389681894223103-0.389647487277031)×R²
    abs(1.59534002-1.59524415)×3.44069460714858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44069460714858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44069460714858e-05×40589641000000     		ar = 56649.4710840388m²