Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49408 / 114943
↖ ↑ ↗
← S 79.302130°
W 44.296875°		 ← 56.70 m → S 79.302130°
W 44.294128°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.302640°
W 44.296875°		 ← 56.69 m →
3 215 m²		 S 79.302640°
W 44.294128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376956939697266 y=0.876949310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376956939697266 × 217)
    floor (0.376956939697266 × 131072)
    floor (49408.5)     		tx = 49408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876949310302734 × 217)
    floor (0.876949310302734 × 131072)
    floor (114943.5)     		ty = 114943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49408 / 114943 ti = "17/49408/114943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49408/114943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49408 ÷ 217
    49408 ÷ 131072     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114943 ÷ 217
    114943 ÷ 131072     		y = 0.876945495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876945495605469 × 2 - 1) × π
    -0.753890991210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.36841839952811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36841839952811))-π/2
    2×atan(0.0936286924196675)-π/2
    2×0.0933565291140006-π/2
    0.186713058228001-1.57079632675     		φ = -1.38408327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38408327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.302130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49408 KachelY 114943 -0.77312632 -1.38408327 -44.296875 -79.302130
    Oben rechts KachelX + 1 49409 KachelY 114943 -0.77307838 -1.38408327 -44.294128 -79.302130
    Unten links KachelX 49408 KachelY + 1 114944 -0.77312632 -1.38409217 -44.296875 -79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 49409 KachelY + 1 114944 -0.77307838 -1.38409217 -44.294128 -79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38408327--1.38409217) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38408327--1.38409217) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77307838) × cos(-1.38408327) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185630088426251 × 6371000     		do = 56.6962071239474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77307838) × cos(-1.38409217) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 56.6935360773021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38408327)-sin(-1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185630088426251-0.18562134310359)×R²
    abs(-0.77307838--0.77312632)×8.74532266101347e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.74532266101347e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.74532266101347e-06×40589641000000     		ar = 3214.70693992134m²