Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49408 / 16640
↖ ↑ ↗
← N 65.946472°
E 91.406250°		 ← 248.95 m → N 65.946472°
E 91.411743°		 →
↑
248.98 m
↓
↑
248.98 m
↓
N 65.944233°
E 91.406250°		 ← 248.97 m →
61 986 m²		 N 65.944233°
E 91.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753913879394531 y=0.253913879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753913879394531 × 216)
    floor (0.753913879394531 × 65536)
    floor (49408.5)     		tx = 49408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253913879394531 × 216)
    floor (0.253913879394531 × 65536)
    floor (16640.5)     		ty = 16640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49408 / 16640 ti = "16/49408/16640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49408/16640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49408 ÷ 216
    49408 ÷ 65536     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16640 ÷ 216
    16640 ÷ 65536     		y = 0.25390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25390625 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54625263414453))-π/2
    2×atan(4.69384761981689)-π/2
    2×1.36088969467217-π/2
    2.72177938934434-1.57079632675     		φ = 1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49408 KachelY 16640 1.59534002 1.15098306 91.406250 65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 49409 KachelY 16640 1.59543589 1.15098306 91.411743 65.946472
    Unten links KachelX 49408 KachelY + 1 16641 1.59534002 1.15094398 91.406250 65.944233
    Unten rechts KachelX + 1 49409 KachelY + 1 16641 1.59543589 1.15094398 91.411743 65.944233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15098306-1.15094398) × R
    3.90799999998581e-05 × 6371000     		dl = 248.978679999096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15098306-1.15094398) × R
    3.90799999998581e-05 × 6371000     		dr = 248.978679999096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59543589) × cos(1.15098306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 248.950951704037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59543589) × cos(1.15094398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40762562810659 × 6371000     		du = 248.972748386068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15098306)-sin(1.15094398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.40762562810659)×R²
    abs(1.59543589-1.59534002)×3.56861795565155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56861795565155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56861795565155e-05×40589641000000     		ar = 61986.1928020204m²