Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49408 / 17152
↖ ↑ ↗
← N 64.774125°
E 91.406250°		 ← 260.31 m → N 64.774125°
E 91.411743°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
N 64.771784°
E 91.406250°		 ← 260.33 m →
67 783 m²		 N 64.771784°
E 91.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753913879394531 y=0.261726379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753913879394531 × 216)
    floor (0.753913879394531 × 65536)
    floor (49408.5)     		tx = 49408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261726379394531 × 216)
    floor (0.261726379394531 × 65536)
    floor (17152.5)     		ty = 17152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49408 / 17152 ti = "16/49408/17152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49408/17152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49408 ÷ 216
    49408 ÷ 65536     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17152 ÷ 216
    17152 ÷ 65536     		y = 0.26171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26171875 × 2 - 1) × π
    0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49716524893359))-π/2
    2×atan(4.46900258747256)-π/2
    2×1.35065904179333-π/2
    2.70131808358667-1.57079632675     		φ = 1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49408 KachelY 17152 1.59534002 1.13052176 91.406250 64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 49409 KachelY 17152 1.59543589 1.13052176 91.411743 64.774125
    Unten links KachelX 49408 KachelY + 1 17153 1.59534002 1.13048089 91.406250 64.771784
    Unten rechts KachelX + 1 49409 KachelY + 1 17153 1.59543589 1.13048089 91.411743 64.771784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13052176-1.13048089) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dl = 260.382769999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13052176-1.13048089) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dr = 260.382769999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59543589) × cos(1.13052176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 260.310334914415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59543589) × cos(1.13048089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426224835835523 × 6371000     		du = 260.332916998589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13052176)-sin(1.13048089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.426224835835523)×R²
    abs(1.59543589-1.59534002)×3.69720634298409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69720634298409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69720634298409e-05×40589641000000     		ar = 67783.2660665534m²