Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49408 / 82688
↖ ↑ ↗
← S 42.553080°
W 44.296875°		 ← 224.99 m → S 42.553080°
W 44.294128°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 42.555104°
W 44.296875°		 ← 224.98 m →
50 613 m²		 S 42.555104°
W 44.294128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376956939697266 y=0.630863189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376956939697266 × 217)
    floor (0.376956939697266 × 131072)
    floor (49408.5)     		tx = 49408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630863189697266 × 217)
    floor (0.630863189697266 × 131072)
    floor (82688.5)     		ty = 82688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49408 / 82688 ti = "17/49408/82688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49408/82688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49408 ÷ 217
    49408 ÷ 131072     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82688 ÷ 217
    82688 ÷ 131072     		y = 0.630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822213702283203))-π/2
    2×atan(0.439457748313722)-π/2
    2×0.414052484452215-π/2
    0.82810496890443-1.57079632675     		φ = -0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49408 KachelY 82688 -0.77312632 -0.74269136 -44.296875 -42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 49409 KachelY 82688 -0.77307838 -0.74269136 -44.294128 -42.553080
    Unten links KachelX 49408 KachelY + 1 82689 -0.77312632 -0.74272667 -44.296875 -42.555104
    Unten rechts KachelX + 1 49409 KachelY + 1 82689 -0.77307838 -0.74272667 -44.294128 -42.555104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74269136--0.74272667) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74269136--0.74272667) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77307838) × cos(-0.74269136) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 224.992217995909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77307838) × cos(-0.74272667) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736627255232578 × 6371000     		du = 224.984924533952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74269136)-sin(-0.74272667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.736627255232578)×R²
    abs(-0.77307838--0.77312632)×2.38796571533362e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38796571533362e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38796571533362e-05×40589641000000     		ar = 50613.4312469175m²