Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49409 / 82177
↖ ↑ ↗
← S 41.510634°
W 44.294128°		 ← 228.71 m → S 41.510634°
W 44.291382°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 41.512691°
W 44.294128°		 ← 228.71 m →
52 310 m²		 S 41.512691°
W 44.291382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376964569091797 y=0.626964569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376964569091797 × 217)
    floor (0.376964569091797 × 131072)
    floor (49409.5)     		tx = 49409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626964569091797 × 217)
    floor (0.626964569091797 × 131072)
    floor (82177.5)     		ty = 82177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49409 / 82177 ti = "17/49409/82177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49409/82177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49409 ÷ 217
    49409 ÷ 131072     		x = 0.376960754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82177 ÷ 217
    82177 ÷ 131072     		y = 0.626960754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376960754394531 × 2 - 1) × π
    -0.246078491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.77307838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626960754394531 × 2 - 1) × π
    -0.253921508789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.797717946577354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77307838} λ = -0.77307838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797717946577354))-π/2
    2×atan(0.450355527708649)-π/2
    2×0.423149543931817-π/2
    0.846299087863635-1.57079632675     		φ = -0.72449724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77307838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.294128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72449724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.510634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49409 KachelY 82177 -0.77307838 -0.72449724 -44.294128 -41.510634
    Oben rechts KachelX + 1 49410 KachelY 82177 -0.77303044 -0.72449724 -44.291382 -41.510634
    Unten links KachelX 49409 KachelY + 1 82178 -0.77307838 -0.72453314 -44.294128 -41.512691
    Unten rechts KachelX + 1 49410 KachelY + 1 82178 -0.77303044 -0.72453314 -44.291382 -41.512691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72449724--0.72453314) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dl = 228.718899999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72449724--0.72453314) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dr = 228.718899999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77307838--0.77303044) × cos(-0.72449724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748832725329067 × 6371000     		do = 228.712789269697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77307838--0.77303044) × cos(-0.72453314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748808931796866 × 6371000     		du = 228.705522112517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72449724)-sin(-0.72453314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748832725329067-0.748808931796866)×R²
    abs(-0.77303044--0.77307838)×2.37935322009442e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37935322009442e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37935322009442e-05×40589641000000     		ar = 52310.1065152349m²