Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49409 / 82689
↖ ↑ ↗
← S 42.555104°
W 44.294128°		 ← 224.98 m → S 42.555104°
W 44.291382°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 42.557127°
W 44.294128°		 ← 224.98 m →
50 612 m²		 S 42.557127°
W 44.291382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376964569091797 y=0.630870819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376964569091797 × 217)
    floor (0.376964569091797 × 131072)
    floor (49409.5)     		tx = 49409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630870819091797 × 217)
    floor (0.630870819091797 × 131072)
    floor (82689.5)     		ty = 82689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49409 / 82689 ti = "17/49409/82689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49409/82689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49409 ÷ 217
    49409 ÷ 131072     		x = 0.376960754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82689 ÷ 217
    82689 ÷ 131072     		y = 0.630867004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376960754394531 × 2 - 1) × π
    -0.246078491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.77307838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630867004394531 × 2 - 1) × π
    -0.261734008789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.822261639182823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77307838} λ = -0.77307838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822261639182823))-π/2
    2×atan(0.439436682576671)-π/2
    2×0.414034828352623-π/2
    0.828069656705246-1.57079632675     		φ = -0.74272667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77307838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.294128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74272667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.555104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49409 KachelY 82689 -0.77307838 -0.74272667 -44.294128 -42.555104
    Oben rechts KachelX + 1 49410 KachelY 82689 -0.77303044 -0.74272667 -44.291382 -42.555104
    Unten links KachelX 49409 KachelY + 1 82690 -0.77307838 -0.74276198 -44.294128 -42.557127
    Unten rechts KachelX + 1 49410 KachelY + 1 82690 -0.77303044 -0.74276198 -44.291382 -42.557127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74272667--0.74276198) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74272667--0.74276198) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77307838--0.77303044) × cos(-0.74272667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736627255232578 × 6371000     		do = 224.984924533431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77307838--0.77303044) × cos(-0.74276198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736603374657 × 6371000     		du = 224.977630790964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74272667)-sin(-0.74276198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736627255232578-0.736603374657)×R²
    abs(-0.77303044--0.77307838)×2.38805755773397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38805755773397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38805755773397e-05×40589641000000     		ar = 50611.7904778962m²