Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49410 / 114946
↖ ↑ ↗
← S 79.303659°
W 44.291382°		 ← 56.68 m → S 79.303659°
W 44.288635°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.304169°
W 44.291382°		 ← 56.67 m →
3 214 m²		 S 79.304169°
W 44.288635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376972198486328 y=0.876972198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376972198486328 × 217)
    floor (0.376972198486328 × 131072)
    floor (49410.5)     		tx = 49410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876972198486328 × 217)
    floor (0.876972198486328 × 131072)
    floor (114946.5)     		ty = 114946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49410 / 114946 ti = "17/49410/114946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49410/114946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49410 ÷ 217
    49410 ÷ 131072     		x = 0.376968383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114946 ÷ 217
    114946 ÷ 131072     		y = 0.876968383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.246063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77303044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.753936767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36856221022697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77303044} λ = -0.77303044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36856221022697))-π/2
    2×atan(0.0936152285801226)-π/2
    2×0.0933431822605803-π/2
    0.186686364521161-1.57079632675     		φ = -1.38410996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77303044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.291382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38410996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.303659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49410 KachelY 114946 -0.77303044 -1.38410996 -44.291382 -79.303659
    Oben rechts KachelX + 1 49411 KachelY 114946 -0.77298251 -1.38410996 -44.288635 -79.303659
    Unten links KachelX 49410 KachelY + 1 114947 -0.77303044 -1.38411886 -44.291382 -79.304169
    Unten rechts KachelX + 1 49411 KachelY + 1 114947 -0.77298251 -1.38411886 -44.288635 -79.304169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38410996--1.38411886) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38410996--1.38411886) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77303044--0.77298251) × cos(-1.38410996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185603862240406 × 6371000     		do = 56.6763721496055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77303044--0.77298251) × cos(-1.38411886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185595116873654 × 6371000     		du = 56.6737016466611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38410996)-sin(-1.38411886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185603862240406-0.185595116873654)×R²
    abs(-0.77298251--0.77303044)×8.7453667518278e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.7453667518278e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.7453667518278e-06×40589641000000     		ar = 3213.5822747453m²