Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49410 / 49410
↖ ↑ ↗
← S 67.071714°
E 91.417237°		 ← 237.95 m → S 67.071714°
E 91.422729°		 →
↑
237.96 m
↓
↑
237.96 m
↓
S 67.073854°
E 91.417237°		 ← 237.93 m →
56 619 m²		 S 67.073854°
E 91.422729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753944396972656 y=0.753944396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753944396972656 × 216)
    floor (0.753944396972656 × 65536)
    floor (49410.5)     		tx = 49410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753944396972656 × 216)
    floor (0.753944396972656 × 65536)
    floor (49410.5)     		ty = 49410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49410 / 49410 ti = "16/49410/49410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49410/49410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49410 ÷ 216
    49410 ÷ 65536     		x = 0.753936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49410 ÷ 216
    49410 ÷ 65536     		y = 0.753936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753936767578125 × 2 - 1) × π
    0.50787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.59553177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.50787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59553176695395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59553177} λ = 1.59553177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59553176695395))-π/2
    2×atan(0.202800657136168)-π/2
    2×0.20008704330081-π/2
    0.400174086601621-1.57079632675     		φ = -1.17062224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59553177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.417237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17062224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.071714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49410 KachelY 49410 1.59553177 -1.17062224 91.417237 -67.071714
    Oben rechts KachelX + 1 49411 KachelY 49410 1.59562764 -1.17062224 91.422729 -67.071714
    Unten links KachelX 49410 KachelY + 1 49411 1.59553177 -1.17065959 91.417237 -67.073854
    Unten rechts KachelX + 1 49411 KachelY + 1 49411 1.59562764 -1.17065959 91.422729 -67.073854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17062224--1.17065959) × R
    3.73500000001581e-05 × 6371000     		dl = 237.956850001007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17062224--1.17065959) × R
    3.73500000001581e-05 × 6371000     		dr = 237.956850001007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59553177-1.59562764) × cos(-1.17062224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389578680963293 × 6371000     		do = 237.949893785106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59553177-1.59562764) × cos(-1.17065959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389544281596014 × 6371000     		du = 237.928883072276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17062224)-sin(-1.17065959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389578680963293-0.389544281596014)×R²
    abs(1.59562764-1.59553177)×3.43993672791143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43993672791143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43993672791143e-05×40589641000000     		ar = 56619.3073682903m²