Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49410 / 82178
↖ ↑ ↗
← S 41.512691°
W 44.291382°		 ← 228.66 m → S 41.512691°
W 44.288635°		 →
↑
228.66 m
↓
↑
228.66 m
↓
S 41.514747°
W 44.291382°		 ← 228.65 m →
52 283 m²		 S 41.514747°
W 44.288635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376972198486328 y=0.626972198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376972198486328 × 217)
    floor (0.376972198486328 × 131072)
    floor (49410.5)     		tx = 49410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626972198486328 × 217)
    floor (0.626972198486328 × 131072)
    floor (82178.5)     		ty = 82178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49410 / 82178 ti = "17/49410/82178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49410/82178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49410 ÷ 217
    49410 ÷ 131072     		x = 0.376968383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82178 ÷ 217
    82178 ÷ 131072     		y = 0.626968383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.246063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77303044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.253936767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.797765883476975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77303044} λ = -0.77303044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797765883476975))-π/2
    2×atan(0.450333939578362)-π/2
    2×0.423131595857323-π/2
    0.846263191714646-1.57079632675     		φ = -0.72453314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77303044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.291382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72453314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.512691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49410 KachelY 82178 -0.77303044 -0.72453314 -44.291382 -41.512691
    Oben rechts KachelX + 1 49411 KachelY 82178 -0.77298251 -0.72453314 -44.288635 -41.512691
    Unten links KachelX 49410 KachelY + 1 82179 -0.77303044 -0.72456903 -44.291382 -41.514747
    Unten rechts KachelX + 1 49411 KachelY + 1 82179 -0.77298251 -0.72456903 -44.288635 -41.514747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72453314--0.72456903) × R
    3.58899999999274e-05 × 6371000     		dl = 228.655189999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72453314--0.72456903) × R
    3.58899999999274e-05 × 6371000     		dr = 228.655189999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77303044--0.77298251) × cos(-0.72453314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.748808931796866 × 6371000     		do = 228.657815495763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77303044--0.77298251) × cos(-0.72456903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.748785143927721 × 6371000     		du = 228.650551583751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72453314)-sin(-0.72456903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748808931796866-0.748785143927721)×R²
    abs(-0.77298251--0.77303044)×2.37878691452531e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37878691452531e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37878691452531e-05×40589641000000     		ar = 52282.9657870801m²