Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49412 / 114948
↖ ↑ ↗
← S 79.304679°
W 44.285889°		 ← 56.68 m → S 79.304679°
W 44.283142°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.305188°
W 44.285889°		 ← 56.68 m →
3 210 m²		 S 79.305188°
W 44.283142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376987457275391 y=0.876987457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376987457275391 × 217)
    floor (0.376987457275391 × 131072)
    floor (49412.5)     		tx = 49412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876987457275391 × 217)
    floor (0.876987457275391 × 131072)
    floor (114948.5)     		ty = 114948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49412 / 114948 ti = "17/49412/114948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49412/114948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49412 ÷ 217
    49412 ÷ 131072     		x = 0.376983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114948 ÷ 217
    114948 ÷ 131072     		y = 0.876983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.75396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36865808402621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77293457} λ = -0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36865808402621))-π/2
    2×atan(0.0936062537627236)-π/2
    2×0.0933342854060583-π/2
    0.186668570812117-1.57079632675     		φ = -1.38412776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38412776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.304679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49412 KachelY 114948 -0.77293457 -1.38412776 -44.285889 -79.304679
    Oben rechts KachelX + 1 49413 KachelY 114948 -0.77288663 -1.38412776 -44.283142 -79.304679
    Unten links KachelX 49412 KachelY + 1 114949 -0.77293457 -1.38413665 -44.285889 -79.305188
    Unten rechts KachelX + 1 49413 KachelY + 1 114949 -0.77288663 -1.38413665 -44.283142 -79.305188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38412776--1.38413665) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38412776--1.38413665) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77293457--0.77288663) × cos(-1.38412776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185586371492202 × 6371000     		do = 56.6828548468835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77293457--0.77288663) × cos(-1.38413665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185577635922345 × 6371000     		du = 56.6801867789956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38412776)-sin(-1.38413665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185586371492202-0.185577635922345)×R²
    abs(-0.77288663--0.77293457)×8.7355698570879e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7355698570879e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7355698570879e-06×40589641000000     		ar = 3210.33874529956m²