Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49412 / 82172
↖ ↑ ↗
← S 41.500350°
W 44.285889°		 ← 228.75 m → S 41.500350°
W 44.283142°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 41.502406°
W 44.285889°		 ← 228.74 m →
52 318 m²		 S 41.502406°
W 44.283142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376987457275391 y=0.626926422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376987457275391 × 217)
    floor (0.376987457275391 × 131072)
    floor (49412.5)     		tx = 49412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626926422119141 × 217)
    floor (0.626926422119141 × 131072)
    floor (82172.5)     		ty = 82172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49412 / 82172 ti = "17/49412/82172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49412/82172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49412 ÷ 217
    49412 ÷ 131072     		x = 0.376983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82172 ÷ 217
    82172 ÷ 131072     		y = 0.626922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.25384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.797478262079254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77293457} λ = -0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797478262079254))-π/2
    2×atan(0.450463483884469)-π/2
    2×0.423239292857644-π/2
    0.846478585715287-1.57079632675     		φ = -0.72431774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72431774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.500350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49412 KachelY 82172 -0.77293457 -0.72431774 -44.285889 -41.500350
    Oben rechts KachelX + 1 49413 KachelY 82172 -0.77288663 -0.72431774 -44.283142 -41.500350
    Unten links KachelX 49412 KachelY + 1 82173 -0.77293457 -0.72435364 -44.285889 -41.502406
    Unten rechts KachelX + 1 49413 KachelY + 1 82173 -0.77288663 -0.72435364 -44.283142 -41.502406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72431774--0.72435364) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dl = 228.718899999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72431774--0.72435364) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dr = 228.718899999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77293457--0.77288663) × cos(-0.72431774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748951678512912 × 6371000     		do = 228.749120633898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77293457--0.77288663) × cos(-0.72435364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748927889806533 × 6371000     		du = 228.741854950649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72431774)-sin(-0.72435364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748951678512912-0.748927889806533)×R²
    abs(-0.77288663--0.77293457)×2.37887063787579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37887063787579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37887063787579e-05×40589641000000     		ar = 52318.4163534976m²