Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49412 / 82180
↖ ↑ ↗
← S 41.516804°
W 44.285889°		 ← 228.69 m → S 41.516804°
W 44.283142°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 41.518861°
W 44.285889°		 ← 228.68 m →
52 305 m²		 S 41.518861°
W 44.283142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376987457275391 y=0.626987457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376987457275391 × 217)
    floor (0.376987457275391 × 131072)
    floor (49412.5)     		tx = 49412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626987457275391 × 217)
    floor (0.626987457275391 × 131072)
    floor (82180.5)     		ty = 82180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49412 / 82180 ti = "17/49412/82180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49412/82180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49412 ÷ 217
    49412 ÷ 131072     		x = 0.376983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82180 ÷ 217
    82180 ÷ 131072     		y = 0.626983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.25396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797861757276215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77293457} λ = -0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797861757276215))-π/2
    2×atan(0.450290766422268)-π/2
    2×0.423095701419046-π/2
    0.846191402838093-1.57079632675     		φ = -0.72460492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72460492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.516804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49412 KachelY 82180 -0.77293457 -0.72460492 -44.285889 -41.516804
    Oben rechts KachelX + 1 49413 KachelY 82180 -0.77288663 -0.72460492 -44.283142 -41.516804
    Unten links KachelX 49412 KachelY + 1 82181 -0.77293457 -0.72464082 -44.285889 -41.518861
    Unten rechts KachelX + 1 49413 KachelY + 1 82181 -0.77288663 -0.72464082 -44.283142 -41.518861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72460492--0.72464082) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dl = 228.718899999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72460492--0.72464082) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dr = 228.718899999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77293457--0.77288663) × cos(-0.72460492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748761355094071 × 6371000     		do = 228.69099096286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77293457--0.77288663) × cos(-0.72464082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748737558667283 × 6371000     		du = 228.683722921598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72460492)-sin(-0.72464082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748761355094071-0.748737558667283)×R²
    abs(-0.77288663--0.77293457)×2.37964267885138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37964267885138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37964267885138e-05×40589641000000     		ar = 52305.1207293248m²