Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49414 / 82182
↖ ↑ ↗
← S 41.520917°
W 44.280396°		 ← 228.68 m → S 41.520917°
W 44.277649°		 →
↑
228.66 m
↓
↑
228.66 m
↓
S 41.522973°
W 44.280396°		 ← 228.67 m →
52 287 m²		 S 41.522973°
W 44.277649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377002716064453 y=0.627002716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377002716064453 × 217)
    floor (0.377002716064453 × 131072)
    floor (49414.5)     		tx = 49414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627002716064453 × 217)
    floor (0.627002716064453 × 131072)
    floor (82182.5)     		ty = 82182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49414 / 82182 ti = "17/49414/82182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49414/82182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49414 ÷ 217
    49414 ÷ 131072     		x = 0.376998901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82182 ÷ 217
    82182 ÷ 131072     		y = 0.626998901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376998901367188 × 2 - 1) × π
    -0.246002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77283870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626998901367188 × 2 - 1) × π
    -0.253997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.797957631075455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77283870} λ = -0.77283870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797957631075455))-π/2
    2×atan(0.450247597405151)-π/2
    2×0.423059809261751-π/2
    0.846119618523502-1.57079632675     		φ = -0.72467671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77283870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.280396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72467671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.520917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49414 KachelY 82182 -0.77283870 -0.72467671 -44.280396 -41.520917
    Oben rechts KachelX + 1 49415 KachelY 82182 -0.77279076 -0.72467671 -44.277649 -41.520917
    Unten links KachelX 49414 KachelY + 1 82183 -0.77283870 -0.72471260 -44.280396 -41.522973
    Unten rechts KachelX + 1 49415 KachelY + 1 82183 -0.77279076 -0.72471260 -44.277649 -41.522973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72467671--0.72471260) × R
    3.58900000000384e-05 × 6371000     		dl = 228.655190000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72467671--0.72471260) × R
    3.58900000000384e-05 × 6371000     		dr = 228.655190000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77283870--0.77279076) × cos(-0.72467671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748713767904448 × 6371000     		do = 228.676456610254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77283870--0.77279076) × cos(-0.72471260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748689976177201 × 6371000     		du = 228.669190004354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72467671)-sin(-0.72471260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748713767904448-0.748689976177201)×R²
    abs(-0.77279076--0.77283870)×2.37917272470911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37917272470911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37917272470911e-05×40589641000000     		ar = 52287.2278666836m²