Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49415 / 82183
↖ ↑ ↗
← S 41.522973°
W 44.277649°		 ← 228.67 m → S 41.522973°
W 44.274902°		 →
↑
228.66 m
↓
↑
228.66 m
↓
S 41.525030°
W 44.277649°		 ← 228.66 m →
52 286 m²		 S 41.525030°
W 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377010345458984 y=0.627010345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377010345458984 × 217)
    floor (0.377010345458984 × 131072)
    floor (49415.5)     		tx = 49415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627010345458984 × 217)
    floor (0.627010345458984 × 131072)
    floor (82183.5)     		ty = 82183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49415 / 82183 ti = "17/49415/82183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49415/82183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49415 ÷ 217
    49415 ÷ 131072     		x = 0.377006530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82183 ÷ 217
    82183 ÷ 131072     		y = 0.627006530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377006530761719 × 2 - 1) × π
    -0.245986938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.77279076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627006530761719 × 2 - 1) × π
    -0.254013061523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.798005567975075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77279076} λ = -0.77279076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798005567975075))-π/2
    2×atan(0.450226014448584)-π/2
    2×0.423041864038484-π/2
    0.846083728076968-1.57079632675     		φ = -0.72471260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77279076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.277649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72471260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.522973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49415 KachelY 82183 -0.77279076 -0.72471260 -44.277649 -41.522973
    Oben rechts KachelX + 1 49416 KachelY 82183 -0.77274282 -0.72471260 -44.274902 -41.522973
    Unten links KachelX 49415 KachelY + 1 82184 -0.77279076 -0.72474849 -44.277649 -41.525030
    Unten rechts KachelX + 1 49416 KachelY + 1 82184 -0.77274282 -0.72474849 -44.274902 -41.525030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72471260--0.72474849) × R
    3.58899999999274e-05 × 6371000     		dl = 228.655189999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72471260--0.72474849) × R
    3.58899999999274e-05 × 6371000     		dr = 228.655189999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77279076--0.77274282) × cos(-0.72471260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748689976177201 × 6371000     		do = 228.669190004354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77279076--0.77274282) × cos(-0.72474849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748666183485572 × 6371000     		du = 228.661923103907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72471260)-sin(-0.72474849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748689976177201-0.748666183485572)×R²
    abs(-0.77274282--0.77279076)×2.37926916286657e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37926916286657e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37926916286657e-05×40589641000000     		ar = 52285.5662858628m²