Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49416 / 16648
↖ ↑ ↗
← N 79.034258°
W 44.274902°		 ← 58.10 m → N 79.034258°
W 44.272155°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.033736°
W 44.274902°		 ← 58.10 m →
3 376 m²		 N 79.033736°
W 44.272155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377017974853516 y=0.127017974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377017974853516 × 217)
    floor (0.377017974853516 × 131072)
    floor (49416.5)     		tx = 49416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127017974853516 × 217)
    floor (0.127017974853516 × 131072)
    floor (16648.5)     		ty = 16648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49416 / 16648 ti = "17/49416/16648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49416/16648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49416 ÷ 217
    49416 ÷ 131072     		x = 0.37701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16648 ÷ 217
    16648 ÷ 131072     		y = 0.12701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12701416015625 × 2 - 1) × π
    0.7459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34353914862531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77274282} λ = -0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34353914862531))-π/2
    2×atan(10.4180423940777)-π/2
    2×1.47510217998819-π/2
    2.95020435997638-1.57079632675     		φ = 1.37940803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37940803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.034258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49416 KachelY 16648 -0.77274282 1.37940803 -44.274902 79.034258
    Oben rechts KachelX + 1 49417 KachelY 16648 -0.77269488 1.37940803 -44.272155 79.034258
    Unten links KachelX 49416 KachelY + 1 16649 -0.77274282 1.37939891 -44.274902 79.033736
    Unten rechts KachelX + 1 49417 KachelY + 1 16649 -0.77269488 1.37939891 -44.272155 79.033736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37940803-1.37939891) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37940803-1.37939891) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77274282--0.77269488) × cos(1.37940803) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190222025870489 × 6371000     		do = 58.0987030158897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77274282--0.77269488) × cos(1.37939891) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.19023097934138 × 6371000     		du = 58.1014376363621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37940803)-sin(1.37939891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190222025870489-0.19023097934138)×R²
    abs(-0.77269488--0.77274282)×8.95347089072129e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.95347089072129e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.95347089072129e-06×40589641000000     		ar = 3375.81859818727m²