Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49416 / 82696
↖ ↑ ↗
← S 42.569264°
W 44.274902°		 ← 224.93 m → S 42.569264°
W 44.272155°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 42.571287°
W 44.274902°		 ← 224.93 m →
50 600 m²		 S 42.571287°
W 44.272155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377017974853516 y=0.630924224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377017974853516 × 217)
    floor (0.377017974853516 × 131072)
    floor (49416.5)     		tx = 49416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630924224853516 × 217)
    floor (0.630924224853516 × 131072)
    floor (82696.5)     		ty = 82696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49416 / 82696 ti = "17/49416/82696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49416/82696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49416 ÷ 217
    49416 ÷ 131072     		x = 0.37701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82696 ÷ 217
    82696 ÷ 131072     		y = 0.63092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.2618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.822597197480164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77274282} λ = -0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822597197480164))-π/2
    2×atan(0.439289250689057)-π/2
    2×0.413911251682756-π/2
    0.827822503365512-1.57079632675     		φ = -0.74297382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74297382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.569264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49416 KachelY 82696 -0.77274282 -0.74297382 -44.274902 -42.569264
    Oben rechts KachelX + 1 49417 KachelY 82696 -0.77269488 -0.74297382 -44.272155 -42.569264
    Unten links KachelX 49416 KachelY + 1 82697 -0.77274282 -0.74300913 -44.274902 -42.571287
    Unten rechts KachelX + 1 49417 KachelY + 1 82697 -0.77269488 -0.74300913 -44.272155 -42.571287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74297382--0.74300913) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74297382--0.74300913) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77274282--0.77269488) × cos(-0.74297382) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73646008544792 × 6371000     		do = 224.933866578768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77274282--0.77269488) × cos(-0.74300913) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736436198444729 × 6371000     		du = 224.926570873141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74297382)-sin(-0.74300913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73646008544792-0.736436198444729)×R²
    abs(-0.77269488--0.77274282)×2.38870031914473e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38870031914473e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38870031914473e-05×40589641000000     		ar = 50600.3042591982m²