Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49424 / 81680
↖ ↑ ↗
← S 40.480382°
W 44.252930°		 ← 232.32 m → S 40.480382°
W 44.250183°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
S 40.482471°
W 44.252930°		 ← 232.31 m →
53 963 m²		 S 40.482471°
W 44.250183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377079010009766 y=0.623172760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377079010009766 × 217)
    floor (0.377079010009766 × 131072)
    floor (49424.5)     		tx = 49424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623172760009766 × 217)
    floor (0.623172760009766 × 131072)
    floor (81680.5)     		ty = 81680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49424 / 81680 ti = "17/49424/81680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49424/81680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49424 ÷ 217
    49424 ÷ 131072     		x = 0.3770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81680 ÷ 217
    81680 ÷ 131072     		y = 0.6231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.773893307466187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77235933} λ = -0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773893307466187))-π/2
    2×atan(0.46121392066551)-π/2
    2×0.432140194205539-π/2
    0.864280388411078-1.57079632675     		φ = -0.70651594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70651594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.480382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49424 KachelY 81680 -0.77235933 -0.70651594 -44.252930 -40.480382
    Oben rechts KachelX + 1 49425 KachelY 81680 -0.77231139 -0.70651594 -44.250183 -40.480382
    Unten links KachelX 49424 KachelY + 1 81681 -0.77235933 -0.70655240 -44.252930 -40.482471
    Unten rechts KachelX + 1 49425 KachelY + 1 81681 -0.77231139 -0.70655240 -44.250183 -40.482471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70651594--0.70655240) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70651594--0.70655240) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77235933--0.77231139) × cos(-0.70651594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760628296615062 × 6371000     		do = 232.315460358443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77235933--0.77231139) × cos(-0.70655240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760604626728081 × 6371000     		du = 232.308230965695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70651594)-sin(-0.70655240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760628296615062-0.760604626728081)×R²
    abs(-0.77231139--0.77235933)×2.36698869818808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36698869818808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36698869818808e-05×40589641000000     		ar = 53962.9427133446m²