Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49424 / 82192
↖ ↑ ↗
← S 41.541478°
W 44.252930°		 ← 228.60 m → S 41.541478°
W 44.250183°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 41.543533°
W 44.252930°		 ← 228.60 m →
52 256 m²		 S 41.543533°
W 44.250183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377079010009766 y=0.627079010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377079010009766 × 217)
    floor (0.377079010009766 × 131072)
    floor (49424.5)     		tx = 49424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627079010009766 × 217)
    floor (0.627079010009766 × 131072)
    floor (82192.5)     		ty = 82192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49424 / 82192 ti = "17/49424/82192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49424/82192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49424 ÷ 217
    49424 ÷ 131072     		x = 0.3770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82192 ÷ 217
    82192 ÷ 131072     		y = 0.6270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.798437000071655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77235933} λ = -0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798437000071655))-π/2
    2×atan(0.450031814390316)-π/2
    2×0.422880382691398-π/2
    0.845760765382795-1.57079632675     		φ = -0.72503556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72503556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.541478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49424 KachelY 82192 -0.77235933 -0.72503556 -44.252930 -41.541478
    Oben rechts KachelX + 1 49425 KachelY 82192 -0.77231139 -0.72503556 -44.250183 -41.541478
    Unten links KachelX 49424 KachelY + 1 82193 -0.77235933 -0.72507144 -44.252930 -41.543533
    Unten rechts KachelX + 1 49425 KachelY + 1 82193 -0.77231139 -0.72507144 -44.250183 -41.543533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72503556--0.72507144) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72503556--0.72507144) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77235933--0.77231139) × cos(-0.72503556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748475840396585 × 6371000     		do = 228.603787425099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77235933--0.77231139) × cos(-0.72507144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748452045660133 × 6371000     		du = 228.59651990011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72503556)-sin(-0.72507144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748475840396585-0.748452045660133)×R²
    abs(-0.77231139--0.77235933)×2.37947364519764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37947364519764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37947364519764e-05×40589641000000     		ar = 52256.0474595666m²