Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49425 / 82191
↖ ↑ ↗
← S 41.539422°
W 44.250183°		 ← 228.61 m → S 41.539422°
W 44.247436°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 41.541478°
W 44.250183°		 ← 228.60 m →
52 258 m²		 S 41.541478°
W 44.247436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377086639404297 y=0.627071380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377086639404297 × 217)
    floor (0.377086639404297 × 131072)
    floor (49425.5)     		tx = 49425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627071380615234 × 217)
    floor (0.627071380615234 × 131072)
    floor (82191.5)     		ty = 82191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49425 / 82191 ti = "17/49425/82191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49425/82191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49425 ÷ 217
    49425 ÷ 131072     		x = 0.377082824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82191 ÷ 217
    82191 ÷ 131072     		y = 0.627067565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377082824707031 × 2 - 1) × π
    -0.245834350585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.77231139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627067565917969 × 2 - 1) × π
    -0.254135131835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.798389063172035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77231139} λ = -0.77231139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798389063172035))-π/2
    2×atan(0.450053388037311)-π/2
    2×0.422898322782141-π/2
    0.845796645564283-1.57079632675     		φ = -0.72499968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77231139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.250183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72499968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.539422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49425 KachelY 82191 -0.77231139 -0.72499968 -44.250183 -41.539422
    Oben rechts KachelX + 1 49426 KachelY 82191 -0.77226345 -0.72499968 -44.247436 -41.539422
    Unten links KachelX 49425 KachelY + 1 82192 -0.77231139 -0.72503556 -44.250183 -41.541478
    Unten rechts KachelX + 1 49426 KachelY + 1 82192 -0.77226345 -0.72503556 -44.247436 -41.541478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72499968--0.72503556) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72499968--0.72503556) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77231139--0.77226345) × cos(-0.72499968) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.748499634169468 × 6371000     		do = 228.611054656319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77231139--0.77226345) × cos(-0.72503556) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.748475840396585 × 6371000     		du = 228.603787425628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72499968)-sin(-0.72503556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748499634169468-0.748475840396585)×R²
    abs(-0.77226345--0.77231139)×2.37937728833071e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37937728833071e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37937728833071e-05×40589641000000     		ar = 52257.708720345m²