Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49426 / 82194
↖ ↑ ↗
← S 41.545589°
W 44.247436°		 ← 228.54 m → S 41.545589°
W 44.244690°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 41.547645°
W 44.247436°		 ← 228.53 m →
52 242 m²		 S 41.547645°
W 44.244690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377094268798828 y=0.627094268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377094268798828 × 217)
    floor (0.377094268798828 × 131072)
    floor (49426.5)     		tx = 49426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627094268798828 × 217)
    floor (0.627094268798828 × 131072)
    floor (82194.5)     		ty = 82194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49426 / 82194 ti = "17/49426/82194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49426/82194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49426 ÷ 217
    49426 ÷ 131072     		x = 0.377090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82194 ÷ 217
    82194 ÷ 131072     		y = 0.627090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.245819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77226345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.254180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.798532873870895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77226345} λ = -0.77226345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798532873870895))-π/2
    2×atan(0.449988670198724)-π/2
    2×0.42284450422083-π/2
    0.845689008441661-1.57079632675     		φ = -0.72510732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77226345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.247436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72510732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.545589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49426 KachelY 82194 -0.77226345 -0.72510732 -44.247436 -41.545589
    Oben rechts KachelX + 1 49427 KachelY 82194 -0.77221552 -0.72510732 -44.244690 -41.545589
    Unten links KachelX 49426 KachelY + 1 82195 -0.77226345 -0.72514320 -44.247436 -41.547645
    Unten rechts KachelX + 1 49427 KachelY + 1 82195 -0.77221552 -0.72514320 -44.244690 -41.547645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72510732--0.72514320) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72510732--0.72514320) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77226345--0.77221552) × cos(-0.72510732) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.748428249960143 × 6371000     		do = 228.541569716787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77226345--0.77221552) × cos(-0.72514320) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.748404453296646 × 6371000     		du = 228.534303119315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72510732)-sin(-0.72514320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748428249960143-0.748404453296646)×R²
    abs(-0.77221552--0.77226345)×2.37966634973885e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37966634973885e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37966634973885e-05×40589641000000     		ar = 52241.8251275893m²