Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49432 / 82200
↖ ↑ ↗
← S 41.557921°
W 44.230957°		 ← 228.55 m → S 41.557921°
W 44.228210°		 →
↑
228.53 m
↓
↑
228.53 m
↓
S 41.559977°
W 44.230957°		 ← 228.54 m →
52 228 m²		 S 41.559977°
W 44.228210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377140045166016 y=0.627140045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377140045166016 × 217)
    floor (0.377140045166016 × 131072)
    floor (49432.5)     		tx = 49432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627140045166016 × 217)
    floor (0.627140045166016 × 131072)
    floor (82200.5)     		ty = 82200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49432 / 82200 ti = "17/49432/82200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49432/82200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49432 ÷ 217
    49432 ÷ 131072     		x = 0.37713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82200 ÷ 217
    82200 ÷ 131072     		y = 0.62713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.798820495268616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77197583} λ = -0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798820495268616))-π/2
    2×atan(0.449859262439555)-π/2
    2×0.422736882496851-π/2
    0.845473764993702-1.57079632675     		φ = -0.72532256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72532256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.557921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49432 KachelY 82200 -0.77197583 -0.72532256 -44.230957 -41.557921
    Oben rechts KachelX + 1 49433 KachelY 82200 -0.77192789 -0.72532256 -44.228210 -41.557921
    Unten links KachelX 49432 KachelY + 1 82201 -0.77197583 -0.72535843 -44.230957 -41.559977
    Unten rechts KachelX + 1 49433 KachelY + 1 82201 -0.77192789 -0.72535843 -44.228210 -41.559977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72532256--0.72535843) × R
    3.58700000000489e-05 × 6371000     		dl = 228.527770000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72532256--0.72535843) × R
    3.58700000000489e-05 × 6371000     		dr = 228.527770000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77197583--0.77192789) × cos(-0.72532256) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.748285482062695 × 6371000     		do = 228.545647090635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77197583--0.77192789) × cos(-0.72535843) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.748261686253908 × 6371000     		du = 228.538379238127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72532256)-sin(-0.72535843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748285482062695-0.748261686253908)×R²
    abs(-0.77192789--0.77197583)×2.3795808787419e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3795808787419e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3795808787419e-05×40589641000000     		ar = 52228.1966252573m²