Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49471 / 82239
↖ ↑ ↗
← S 41.638026°
W 44.123840°		 ← 228.21 m → S 41.638026°
W 44.121094°		 →
↑
228.27 m
↓
↑
228.27 m
↓
S 41.640078°
W 44.123840°		 ← 228.21 m →
52 094 m²		 S 41.640078°
W 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377437591552734 y=0.627437591552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377437591552734 × 217)
    floor (0.377437591552734 × 131072)
    floor (49471.5)     		tx = 49471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627437591552734 × 217)
    floor (0.627437591552734 × 131072)
    floor (82239.5)     		ty = 82239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49471 / 82239 ti = "17/49471/82239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49471/82239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49471 ÷ 217
    49471 ÷ 131072     		x = 0.377433776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82239 ÷ 217
    82239 ÷ 131072     		y = 0.627433776855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377433776855469 × 2 - 1) × π
    -0.245132446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.77010629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627433776855469 × 2 - 1) × π
    -0.254867553710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.800690034353798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77010629} λ = -0.77010629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800690034353798))-π/2
    2×atan(0.449019018644635)-π/2
    2×0.422037841815964-π/2
    0.844075683631928-1.57079632675     		φ = -0.72672064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77010629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.123840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72672064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.638026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49471 KachelY 82239 -0.77010629 -0.72672064 -44.123840 -41.638026
    Oben rechts KachelX + 1 49472 KachelY 82239 -0.77005836 -0.72672064 -44.121094 -41.638026
    Unten links KachelX 49471 KachelY + 1 82240 -0.77010629 -0.72675647 -44.123840 -41.640078
    Unten rechts KachelX + 1 49472 KachelY + 1 82240 -0.77005836 -0.72675647 -44.121094 -41.640078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72672064--0.72675647) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dl = 228.272929999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72672064--0.72675647) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dr = 228.272929999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77010629--0.77005836) × cos(-0.72672064) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747357297156944 × 6371000     		do = 228.214541394769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77010629--0.77005836) × cos(-0.72675647) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747333490424122 × 6371000     		du = 228.207271722507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72672064)-sin(-0.72675647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747357297156944-0.747333490424122)×R²
    abs(-0.77005836--0.77010629)×2.38067328220959e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38067328220959e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38067328220959e-05×40589641000000     		ar = 52094.3723037437m²