Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49471 / 82241
↖ ↑ ↗
← S 41.642131°
W 44.123840°		 ← 228.20 m → S 41.642131°
W 44.121094°		 →
↑
228.27 m
↓
↑
228.27 m
↓
S 41.644184°
W 44.123840°		 ← 228.19 m →
52 091 m²		 S 41.644184°
W 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377437591552734 y=0.627452850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377437591552734 × 217)
    floor (0.377437591552734 × 131072)
    floor (49471.5)     		tx = 49471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627452850341797 × 217)
    floor (0.627452850341797 × 131072)
    floor (82241.5)     		ty = 82241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49471 / 82241 ti = "17/49471/82241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49471/82241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49471 ÷ 217
    49471 ÷ 131072     		x = 0.377433776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82241 ÷ 217
    82241 ÷ 131072     		y = 0.627449035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377433776855469 × 2 - 1) × π
    -0.245132446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.77010629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627449035644531 × 2 - 1) × π
    -0.254898071289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.800785908153038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77010629} λ = -0.77010629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800785908153038))-π/2
    2×atan(0.448975971548963)-π/2
    2×0.422002016965407-π/2
    0.844004033930815-1.57079632675     		φ = -0.72679229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77010629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.123840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72679229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.642131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49471 KachelY 82241 -0.77010629 -0.72679229 -44.123840 -41.642131
    Oben rechts KachelX + 1 49472 KachelY 82241 -0.77005836 -0.72679229 -44.121094 -41.642131
    Unten links KachelX 49471 KachelY + 1 82242 -0.77010629 -0.72682812 -44.123840 -41.644184
    Unten rechts KachelX + 1 49472 KachelY + 1 82242 -0.77005836 -0.72682812 -44.121094 -41.644184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72679229--0.72682812) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dl = 228.272929999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72679229--0.72682812) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dr = 228.272929999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77010629--0.77005836) × cos(-0.72679229) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747309689376641 × 6371000     		do = 228.200003786331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77010629--0.77005836) × cos(-0.72682812) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.74728588072528 × 6371000     		du = 228.19273352822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72679229)-sin(-0.72682812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747309689376641-0.74728588072528)×R²
    abs(-0.77005836--0.77010629)×2.38086513606461e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38086513606461e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38086513606461e-05×40589641000000     		ar = 52091.0536943803m²