Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49476 / 82244
↖ ↑ ↗
← S 41.648288°
W 44.110108°		 ← 228.23 m → S 41.648288°
W 44.107361°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
S 41.650341°
W 44.110108°		 ← 228.22 m →
52 082 m²		 S 41.650341°
W 44.107361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377475738525391 y=0.627475738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377475738525391 × 217)
    floor (0.377475738525391 × 131072)
    floor (49476.5)     		tx = 49476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627475738525391 × 217)
    floor (0.627475738525391 × 131072)
    floor (82244.5)     		ty = 82244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49476 / 82244 ti = "17/49476/82244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49476/82244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49476 ÷ 217
    49476 ÷ 131072     		x = 0.377471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82244 ÷ 217
    82244 ÷ 131072     		y = 0.627471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.25494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.800929718851898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76986661} λ = -0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800929718851898))-π/2
    2×atan(0.448911408643253)-π/2
    2×0.42194828396867-π/2
    0.843896567937341-1.57079632675     		φ = -0.72689976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72689976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.648288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49476 KachelY 82244 -0.76986661 -0.72689976 -44.110108 -41.648288
    Oben rechts KachelX + 1 49477 KachelY 82244 -0.76981867 -0.72689976 -44.107361 -41.648288
    Unten links KachelX 49476 KachelY + 1 82245 -0.76986661 -0.72693558 -44.110108 -41.650341
    Unten rechts KachelX + 1 49477 KachelY + 1 82245 -0.76981867 -0.72693558 -44.107361 -41.650341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72689976--0.72693558) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dl = 228.209220000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72689976--0.72693558) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dr = 228.209220000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76986661--0.76981867) × cos(-0.72689976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747238273835642 × 6371000     		do = 228.225802742424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76986661--0.76981867) × cos(-0.72693558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747214468952666 × 6371000     		du = 228.218532118425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72689976)-sin(-0.72693558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747238273835642-0.747214468952666)×R²
    abs(-0.76981867--0.76986661)×2.38048829755977e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38048829755977e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38048829755977e-05×40589641000000     		ar = 52082.4028214518m²