Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49536 / 114560
↖ ↑ ↗
← S 79.105086°
W 43.945312°		 ← 57.72 m → S 79.105086°
W 43.942566°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
S 79.105605°
W 43.945312°		 ← 57.71 m →
3 331 m²		 S 79.105605°
W 43.942566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377933502197266 y=0.874027252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377933502197266 × 217)
    floor (0.377933502197266 × 131072)
    floor (49536.5)     		tx = 49536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874027252197266 × 217)
    floor (0.874027252197266 × 131072)
    floor (114560.5)     		ty = 114560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49536 / 114560 ti = "17/49536/114560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49536/114560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49536 ÷ 217
    49536 ÷ 131072     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114560 ÷ 217
    114560 ÷ 131072     		y = 0.8740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8740234375 × 2 - 1) × π
    -0.748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35005856697363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35005856697363))-π/2
    2×atan(0.0953635768959)-π/2
    2×0.0950760586021759-π/2
    0.190152117204352-1.57079632675     		φ = -1.38064421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38064421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.105086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49536 KachelY 114560 -0.76699039 -1.38064421 -43.945312 -79.105086
    Oben rechts KachelX + 1 49537 KachelY 114560 -0.76694246 -1.38064421 -43.942566 -79.105086
    Unten links KachelX 49536 KachelY + 1 114561 -0.76699039 -1.38065327 -43.945312 -79.105605
    Unten rechts KachelX + 1 49537 KachelY + 1 114561 -0.76694246 -1.38065327 -43.942566 -79.105605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38064421--1.38065327) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38064421--1.38065327) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76694246) × cos(-1.38064421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189008272127693 × 6371000     		do = 57.7159496637402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76694246) × cos(-1.38065327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18899937542195 × 6371000     		du = 57.7132329476142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38064421)-sin(-1.38065327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189008272127693-0.18899937542195)×R²
    abs(-0.76694246--0.76699039)×8.89670574313883e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.89670574313883e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.89670574313883e-06×40589641000000     		ar = 3331.35893057707m²