Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49600 / 82624
↖ ↑ ↗
← S 42.423457°
W 43.769531°		 ← 225.41 m → S 42.423457°
W 43.766785°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 42.425484°
W 43.769531°		 ← 225.40 m →
50 808 m²		 S 42.425484°
W 43.766785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378421783447266 y=0.630374908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378421783447266 × 217)
    floor (0.378421783447266 × 131072)
    floor (49600.5)     		tx = 49600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630374908447266 × 217)
    floor (0.630374908447266 × 131072)
    floor (82624.5)     		ty = 82624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49600 / 82624 ti = "17/49600/82624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49600/82624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49600 ÷ 217
    49600 ÷ 131072     		x = 0.37841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82624 ÷ 217
    82624 ÷ 131072     		y = 0.63037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76392243} λ = -0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81914574070752))-π/2
    2×atan(0.440808058089803)-π/2
    2×0.415183665248754-π/2
    0.830367330497507-1.57079632675     		φ = -0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49600 KachelY 82624 -0.76392243 -0.74042900 -43.769531 -42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 49601 KachelY 82624 -0.76387450 -0.74042900 -43.766785 -42.423457
    Unten links KachelX 49600 KachelY + 1 82625 -0.76392243 -0.74046438 -43.769531 -42.425484
    Unten rechts KachelX + 1 49601 KachelY + 1 82625 -0.76387450 -0.74046438 -43.766785 -42.425484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74042900--0.74046438) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dl = 225.405980000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74042900--0.74046438) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dr = 225.405980000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76392243--0.76387450) × cos(-0.74042900) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 225.411905511003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76392243--0.76387450) × cos(-0.74046438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.738155353295518 × 6371000     		du = 225.404617137825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74042900)-sin(-0.74046438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.738155353295518)×R²
    abs(-0.76387450--0.76392243)×2.38679746091819e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38679746091819e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38679746091819e-05×40589641000000     		ar = 50808.3700492739m²