Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49663 / 81407
↖ ↑ ↗
← S 39.907629°
W 43.596497°		 ← 234.29 m → S 39.907629°
W 43.593750°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
S 39.909736°
W 43.596497°		 ← 234.28 m →
54 883 m²		 S 39.909736°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378902435302734 y=0.621089935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378902435302734 × 217)
    floor (0.378902435302734 × 131072)
    floor (49663.5)     		tx = 49663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621089935302734 × 217)
    floor (0.621089935302734 × 131072)
    floor (81407.5)     		ty = 81407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49663 / 81407 ti = "17/49663/81407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49663/81407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49663 ÷ 217
    49663 ÷ 131072     		x = 0.378898620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81407 ÷ 217
    81407 ÷ 131072     		y = 0.621086120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378898620605469 × 2 - 1) × π
    -0.242202758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76090241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621086120605469 × 2 - 1) × π
    -0.242172241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.760806533869911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76090241} λ = -0.76090241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760806533869911))-π/2
    2×atan(0.467289390263597)-π/2
    2×0.437138398387514-π/2
    0.874276796775028-1.57079632675     		φ = -0.69651953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76090241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.596497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69651953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.907629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49663 KachelY 81407 -0.76090241 -0.69651953 -43.596497 -39.907629
    Oben rechts KachelX + 1 49664 KachelY 81407 -0.76085447 -0.69651953 -43.593750 -39.907629
    Unten links KachelX 49663 KachelY + 1 81408 -0.76090241 -0.69655630 -43.596497 -39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 49664 KachelY + 1 81408 -0.76085447 -0.69655630 -43.593750 -39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69651953--0.69655630) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dl = 234.261670000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69651953--0.69655630) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dr = 234.261670000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76090241--0.76085447) × cos(-0.69651953) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.767079730572756 × 6371000     		do = 234.285894349573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76090241--0.76085447) × cos(-0.69655630) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 234.278689241063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69651953)-sin(-0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767079730572756-0.767056140195237)×R²
    abs(-0.76085447--0.76090241)×2.35903775187563e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35903775187563e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35903775187563e-05×40589641000000     		ar = 54883.3609336602m²