Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49663 / 82431
↖ ↑ ↗
← S 42.030934°
W 43.596497°		 ← 226.87 m → S 42.030934°
W 43.593750°		 →
↑
226.87 m
↓
↑
226.87 m
↓
S 42.032975°
W 43.596497°		 ← 226.86 m →
51 468 m²		 S 42.032975°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378902435302734 y=0.628902435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378902435302734 × 217)
    floor (0.378902435302734 × 131072)
    floor (49663.5)     		tx = 49663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628902435302734 × 217)
    floor (0.628902435302734 × 131072)
    floor (82431.5)     		ty = 82431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49663 / 82431 ti = "17/49663/82431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49663/82431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49663 ÷ 217
    49663 ÷ 131072     		x = 0.378898620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82431 ÷ 217
    82431 ÷ 131072     		y = 0.628898620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378898620605469 × 2 - 1) × π
    -0.242202758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76090241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628898620605469 × 2 - 1) × π
    -0.257797241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.809893919080849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76090241} λ = -0.76090241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809893919080849))-π/2
    2×atan(0.444905259678616)-π/2
    2×0.418609068234514-π/2
    0.837218136469027-1.57079632675     		φ = -0.73357819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76090241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.596497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73357819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.030934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49663 KachelY 82431 -0.76090241 -0.73357819 -43.596497 -42.030934
    Oben rechts KachelX + 1 49664 KachelY 82431 -0.76085447 -0.73357819 -43.593750 -42.030934
    Unten links KachelX 49663 KachelY + 1 82432 -0.76090241 -0.73361380 -43.596497 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 49664 KachelY + 1 82432 -0.76085447 -0.73361380 -43.593750 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73357819--0.73361380) × R
    3.56099999999637e-05 × 6371000     		dl = 226.871309999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73357819--0.73361380) × R
    3.56099999999637e-05 × 6371000     		dr = 226.871309999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76090241--0.76085447) × cos(-0.73357819) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.742783450783339 × 6371000     		do = 226.865185115631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76090241--0.76085447) × cos(-0.73361380) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 226.857903003629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73357819)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742783450783339-0.74275960828728)×R²
    abs(-0.76085447--0.76090241)×2.38424960582462e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38424960582462e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38424960582462e-05×40589641000000     		ar = 51468.3756947021m²