Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49664 / 82432
↖ ↑ ↗
← S 42.032975°
W 43.593750°		 ← 226.86 m → S 42.032975°
W 43.591003°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 42.035014°
W 43.593750°		 ← 226.85 m →
51 452 m²		 S 42.035014°
W 43.591003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378910064697266 y=0.628910064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378910064697266 × 217)
    floor (0.378910064697266 × 131072)
    floor (49664.5)     		tx = 49664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628910064697266 × 217)
    floor (0.628910064697266 × 131072)
    floor (82432.5)     		ty = 82432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49664 / 82432 ti = "17/49664/82432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49664/82432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49664 ÷ 217
    49664 ÷ 131072     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82432 ÷ 217
    82432 ÷ 131072     		y = 0.62890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62890625 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809941855980469))-π/2
    2×atan(0.444883932811019)-π/2
    2×0.418591265152362-π/2
    0.837182530304723-1.57079632675     		φ = -0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49664 KachelY 82432 -0.76085447 -0.73361380 -43.593750 -42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 49665 KachelY 82432 -0.76080653 -0.73361380 -43.591003 -42.032975
    Unten links KachelX 49664 KachelY + 1 82433 -0.76085447 -0.73364940 -43.593750 -42.035014
    Unten rechts KachelX + 1 49665 KachelY + 1 82433 -0.76080653 -0.73364940 -43.591003 -42.035014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73361380--0.73364940) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dl = 226.807600000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73361380--0.73364940) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dr = 226.807600000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.76080653) × cos(-0.73361380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 226.857903003104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.76080653) × cos(-0.73364940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742735771545196 × 6371000     		du = 226.850622648514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73361380)-sin(-0.73364940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.742735771545196)×R²
    abs(-0.76080653--0.76085447)×2.38367420847263e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38367420847263e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38367420847263e-05×40589641000000     		ar = 51452.2709068994m²