Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49664 / 83456
↖ ↑ ↗
← S 44.087585°
W 43.593750°		 ← 219.38 m → S 44.087585°
W 43.591003°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.089558°
W 43.593750°		 ← 219.37 m →
48 121 m²		 S 44.089558°
W 43.591003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378910064697266 y=0.636722564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378910064697266 × 217)
    floor (0.378910064697266 × 131072)
    floor (49664.5)     		tx = 49664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636722564697266 × 217)
    floor (0.636722564697266 × 131072)
    floor (83456.5)     		ty = 83456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49664 / 83456 ti = "17/49664/83456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49664/83456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49664 ÷ 217
    49664 ÷ 131072     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83456 ÷ 217
    83456 ÷ 131072     		y = 0.63671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63671875 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859029241191406))-π/2
    2×atan(0.423573070089346)-π/2
    2×0.400661404408348-π/2
    0.801322808816697-1.57079632675     		φ = -0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49664 KachelY 83456 -0.76085447 -0.76947352 -43.593750 -44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 49665 KachelY 83456 -0.76080653 -0.76947352 -43.591003 -44.087585
    Unten links KachelX 49664 KachelY + 1 83457 -0.76085447 -0.76950795 -43.593750 -44.089558
    Unten rechts KachelX + 1 49665 KachelY + 1 83457 -0.76080653 -0.76950795 -43.591003 -44.089558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76947352--0.76950795) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76947352--0.76950795) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.76080653) × cos(-0.76947352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 219.380306050753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.76080653) × cos(-0.76950795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718253116033464 × 6371000     		du = 219.372989471683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76947352)-sin(-0.76950795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.718253116033464)×R²
    abs(-0.76080653--0.76085447)×2.39553453159624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39553453159624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39553453159624e-05×40589641000000     		ar = 48121.042090693m²