Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49665 / 16897
↖ ↑ ↗
← N 65.364547°
E 92.817993°		 ← 254.60 m → N 65.364547°
E 92.823486°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
N 65.362258°
E 92.817993°		 ← 254.62 m →
64 821 m²		 N 65.362258°
E 92.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757835388183594 y=0.257835388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757835388183594 × 216)
    floor (0.757835388183594 × 65536)
    floor (49665.5)     		tx = 49665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257835388183594 × 216)
    floor (0.257835388183594 × 65536)
    floor (16897.5)     		ty = 16897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49665 / 16897 ti = "16/49665/16897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49665/16897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49665 ÷ 216
    49665 ÷ 65536     		x = 0.757827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16897 ÷ 216
    16897 ÷ 65536     		y = 0.257827758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757827758789062 × 2 - 1) × π
    0.515655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.61997959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257827758789062 × 2 - 1) × π
    0.484344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52161306773982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61997959} λ = 1.61997959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52161306773982))-π/2
    2×atan(4.57960645573983)-π/2
    2×1.35581144477478-π/2
    2.71162288954955-1.57079632675     		φ = 1.14082656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61997959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14082656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.364547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49665 KachelY 16897 1.61997959 1.14082656 92.817993 65.364547
    Oben rechts KachelX + 1 49666 KachelY 16897 1.62007546 1.14082656 92.823486 65.364547
    Unten links KachelX 49665 KachelY + 1 16898 1.61997959 1.14078660 92.817993 65.362258
    Unten rechts KachelX + 1 49666 KachelY + 1 16898 1.62007546 1.14078660 92.823486 65.362258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14082656-1.14078660) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dl = 254.585160000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14082656-1.14078660) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dr = 254.585160000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61997959-1.62007546) × cos(1.14082656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416843321290753 × 6371000     		do = 254.602802650567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61997959-1.62007546) × cos(1.14078660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416879643732906 × 6371000     		du = 254.62498795401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14082656)-sin(1.14078660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416843321290753-0.416879643732906)×R²
    abs(1.62007546-1.61997959)×3.63224421522368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63224421522368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63224421522368e-05×40589641000000     		ar = 64820.9192823768m²