Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49665 / 81409
↖ ↑ ↗
← S 39.911843°
W 43.591003°		 ← 234.22 m → S 39.911843°
W 43.588257°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
S 39.913950°
W 43.591003°		 ← 234.22 m →
54 869 m²		 S 39.913950°
W 43.588257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378917694091797 y=0.621105194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378917694091797 × 217)
    floor (0.378917694091797 × 131072)
    floor (49665.5)     		tx = 49665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621105194091797 × 217)
    floor (0.621105194091797 × 131072)
    floor (81409.5)     		ty = 81409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49665 / 81409 ti = "17/49665/81409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49665/81409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49665 ÷ 217
    49665 ÷ 131072     		x = 0.378913879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81409 ÷ 217
    81409 ÷ 131072     		y = 0.621101379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378913879394531 × 2 - 1) × π
    -0.242172241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76080653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621101379394531 × 2 - 1) × π
    -0.242202758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.760902407669151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76080653} λ = -0.76080653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760902407669151))-π/2
    2×atan(0.467244591601951)-π/2
    2×0.437101628094348-π/2
    0.874203256188696-1.57079632675     		φ = -0.69659307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76080653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.591003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69659307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.911843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49665 KachelY 81409 -0.76080653 -0.69659307 -43.591003 -39.911843
    Oben rechts KachelX + 1 49666 KachelY 81409 -0.76075860 -0.69659307 -43.588257 -39.911843
    Unten links KachelX 49665 KachelY + 1 81410 -0.76080653 -0.69662984 -43.591003 -39.913950
    Unten rechts KachelX + 1 49666 KachelY + 1 81410 -0.76075860 -0.69662984 -43.588257 -39.913950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69659307--0.69662984) × R
    3.67699999999083e-05 × 6371000     		dl = 234.261669999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69659307--0.69662984) × R
    3.67699999999083e-05 × 6371000     		dr = 234.261669999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76080653--0.76075860) × cos(-0.69659307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767032548780633 × 6371000     		do = 234.222616171871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76080653--0.76075860) × cos(-0.69662984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767008956328976 × 6371000     		du = 234.215411932941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69659307)-sin(-0.69662984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767032548780633-0.767008956328976)×R²
    abs(-0.76075860--0.76080653)×2.35924516570618e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35924516570618e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35924516570618e-05×40589641000000     		ar = 54868.5373836589m²