Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49666 / 115202
↖ ↑ ↗
← S 79.433378°
W 43.588257°		 ← 56.01 m → S 79.433378°
W 43.585510°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
S 79.433882°
W 43.588257°		 ← 56.01 m →
3 136 m²		 S 79.433882°
W 43.585510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378925323486328 y=0.878925323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378925323486328 × 217)
    floor (0.378925323486328 × 131072)
    floor (49666.5)     		tx = 49666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878925323486328 × 217)
    floor (0.878925323486328 × 131072)
    floor (115202.5)     		ty = 115202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49666 / 115202 ti = "17/49666/115202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49666/115202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49666 ÷ 217
    49666 ÷ 131072     		x = 0.378921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115202 ÷ 217
    115202 ÷ 131072     		y = 0.878921508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378921508789062 × 2 - 1) × π
    -0.242156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76075860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878921508789062 × 2 - 1) × π
    -0.757843017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38083405652971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76075860} λ = -0.76075860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38083405652971))-π/2
    2×atan(0.0924734172793127)-π/2
    2×0.0922111711769935-π/2
    0.184422342353987-1.57079632675     		φ = -1.38637398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76075860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.588257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38637398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.433378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49666 KachelY 115202 -0.76075860 -1.38637398 -43.588257 -79.433378
    Oben rechts KachelX + 1 49667 KachelY 115202 -0.76071066 -1.38637398 -43.585510 -79.433378
    Unten links KachelX 49666 KachelY + 1 115203 -0.76075860 -1.38638277 -43.588257 -79.433882
    Unten rechts KachelX + 1 49667 KachelY + 1 115203 -0.76071066 -1.38638277 -43.585510 -79.433882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38637398--1.38638277) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38637398--1.38638277) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76075860--0.76071066) × cos(-1.38637398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183378706594094 × 6371000     		do = 56.0085771617074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76075860--0.76071066) × cos(-1.38638277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183370065644807 × 6371000     		du = 56.005937993377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38637398)-sin(-1.38638277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183378706594094-0.183370065644807)×R²
    abs(-0.76071066--0.76075860)×8.6409492874584e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.6409492874584e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.6409492874584e-06×40589641000000     		ar = 3136.46747229533m²