Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49666 / 82434
↖ ↑ ↗
← S 42.037055°
W 43.588257°		 ← 226.84 m → S 42.037055°
W 43.585510°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 42.039094°
W 43.588257°		 ← 226.84 m →
51 449 m²		 S 42.039094°
W 43.585510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378925323486328 y=0.628925323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378925323486328 × 217)
    floor (0.378925323486328 × 131072)
    floor (49666.5)     		tx = 49666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628925323486328 × 217)
    floor (0.628925323486328 × 131072)
    floor (82434.5)     		ty = 82434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49666 / 82434 ti = "17/49666/82434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49666/82434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49666 ÷ 217
    49666 ÷ 131072     		x = 0.378921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82434 ÷ 217
    82434 ÷ 131072     		y = 0.628921508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378921508789062 × 2 - 1) × π
    -0.242156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76075860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628921508789062 × 2 - 1) × π
    -0.257843017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.810037729779709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76075860} λ = -0.76075860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810037729779709))-π/2
    2×atan(0.444841282142733)-π/2
    2×0.418555660702287-π/2
    0.837111321404574-1.57079632675     		φ = -0.73368501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76075860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.588257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73368501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.037055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49666 KachelY 82434 -0.76075860 -0.73368501 -43.588257 -42.037055
    Oben rechts KachelX + 1 49667 KachelY 82434 -0.76071066 -0.73368501 -43.585510 -42.037055
    Unten links KachelX 49666 KachelY + 1 82435 -0.76075860 -0.73372061 -43.588257 -42.039094
    Unten rechts KachelX + 1 49667 KachelY + 1 82435 -0.76071066 -0.73372061 -43.585510 -42.039094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73368501--0.73372061) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dl = 226.807600000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73368501--0.73372061) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dr = 226.807600000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76075860--0.76071066) × cos(-0.73368501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742711927165687 × 6371000     		do = 226.843339961257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76075860--0.76071066) × cos(-0.73372061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742688088540741 × 6371000     		du = 226.836059031592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73368501)-sin(-0.73372061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742711927165687-0.742688088540741)×R²
    abs(-0.76071066--0.76075860)×2.38386249460376e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38386249460376e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38386249460376e-05×40589641000000     		ar = 51448.9678330261m²