Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49667 / 82435
↖ ↑ ↗
← S 42.039094°
W 43.585510°		 ← 226.84 m → S 42.039094°
W 43.582763°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 42.041134°
W 43.585510°		 ← 226.83 m →
51 447 m²		 S 42.041134°
W 43.582763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378932952880859 y=0.628932952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378932952880859 × 217)
    floor (0.378932952880859 × 131072)
    floor (49667.5)     		tx = 49667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628932952880859 × 217)
    floor (0.628932952880859 × 131072)
    floor (82435.5)     		ty = 82435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49667 / 82435 ti = "17/49667/82435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49667/82435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49667 ÷ 217
    49667 ÷ 131072     		x = 0.378929138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82435 ÷ 217
    82435 ÷ 131072     		y = 0.628929138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378929138183594 × 2 - 1) × π
    -0.242141723632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.76071066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628929138183594 × 2 - 1) × π
    -0.257858276367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.810085666679329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76071066} λ = -0.76071066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810085666679329))-π/2
    2×atan(0.444819958341946)-π/2
    2×0.418537859334372-π/2
    0.837075718668745-1.57079632675     		φ = -0.73372061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76071066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.585510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73372061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.039094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49667 KachelY 82435 -0.76071066 -0.73372061 -43.585510 -42.039094
    Oben rechts KachelX + 1 49668 KachelY 82435 -0.76066272 -0.73372061 -43.582763 -42.039094
    Unten links KachelX 49667 KachelY + 1 82436 -0.76071066 -0.73375621 -43.585510 -42.041134
    Unten rechts KachelX + 1 49668 KachelY + 1 82436 -0.76066272 -0.73375621 -43.582763 -42.041134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73372061--0.73375621) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dl = 226.807600000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73372061--0.73375621) × R
    3.56000000000245e-05 × 6371000     		dr = 226.807600000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76071066--0.76066272) × cos(-0.73372061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742688088540741 × 6371000     		do = 226.836059031592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76071066--0.76066272) × cos(-0.73375621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742664248974541 × 6371000     		du = 226.828777814445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73372061)-sin(-0.73375621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742688088540741-0.742664248974541)×R²
    abs(-0.76066272--0.76071066)×2.38395661993351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38395661993351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38395661993351e-05×40589641000000     		ar = 51447.316430031m²