Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49669 / 82437
↖ ↑ ↗
← S 42.043174°
W 43.580017°		 ← 226.82 m → S 42.043174°
W 43.577271°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 42.045213°
W 43.580017°		 ← 226.81 m →
51 444 m²		 S 42.045213°
W 43.577271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378948211669922 y=0.628948211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378948211669922 × 217)
    floor (0.378948211669922 × 131072)
    floor (49669.5)     		tx = 49669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628948211669922 × 217)
    floor (0.628948211669922 × 131072)
    floor (82437.5)     		ty = 82437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49669 / 82437 ti = "17/49669/82437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49669/82437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49669 ÷ 217
    49669 ÷ 131072     		x = 0.378944396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82437 ÷ 217
    82437 ÷ 131072     		y = 0.628944396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378944396972656 × 2 - 1) × π
    -0.242111206054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76061479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628944396972656 × 2 - 1) × π
    -0.257888793945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.810181540478569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76061479} λ = -0.76061479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810181540478569))-π/2
    2×atan(0.444777313806842)-π/2
    2×0.41850225831281-π/2
    0.83700451662562-1.57079632675     		φ = -0.73379181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76061479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.580017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73379181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.043174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49669 KachelY 82437 -0.76061479 -0.73379181 -43.580017 -42.043174
    Oben rechts KachelX + 1 49670 KachelY 82437 -0.76056685 -0.73379181 -43.577271 -42.043174
    Unten links KachelX 49669 KachelY + 1 82438 -0.76061479 -0.73382741 -43.580017 -42.045213
    Unten rechts KachelX + 1 49670 KachelY + 1 82438 -0.76056685 -0.73382741 -43.577271 -42.045213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73379181--0.73382741) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dl = 226.807599999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73379181--0.73382741) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dr = 226.807599999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76061479--0.76056685) × cos(-0.73379181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742640408467119 × 6371000     		do = 226.821496309823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76061479--0.76056685) × cos(-0.73382741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742616567018504 × 6371000     		du = 226.814214517738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73379181)-sin(-0.73382741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742640408467119-0.742616567018504)×R²
    abs(-0.76056685--0.76061479)×2.38414486148919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38414486148919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38414486148919e-05×40589641000000     		ar = 51444.0134289615m²