Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49671 / 82439
↖ ↑ ↗
← S 42.047253°
W 43.574524°		 ← 226.76 m → S 42.047253°
W 43.571778°		 →
↑
226.74 m
↓
↑
226.74 m
↓
S 42.049292°
W 43.574524°		 ← 226.75 m →
51 416 m²		 S 42.049292°
W 43.571778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378963470458984 y=0.628963470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378963470458984 × 217)
    floor (0.378963470458984 × 131072)
    floor (49671.5)     		tx = 49671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628963470458984 × 217)
    floor (0.628963470458984 × 131072)
    floor (82439.5)     		ty = 82439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49671 / 82439 ti = "17/49671/82439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49671/82439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49671 ÷ 217
    49671 ÷ 131072     		x = 0.378959655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82439 ÷ 217
    82439 ÷ 131072     		y = 0.628959655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378959655761719 × 2 - 1) × π
    -0.242080688476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.76051891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628959655761719 × 2 - 1) × π
    -0.257919311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.810277414277809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76051891} λ = -0.76051891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810277414277809))-π/2
    2×atan(0.444734673360035)-π/2
    2×0.418466659576965-π/2
    0.836933319153931-1.57079632675     		φ = -0.73386301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76051891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.574524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73386301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.047253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49671 KachelY 82439 -0.76051891 -0.73386301 -43.574524 -42.047253
    Oben rechts KachelX + 1 49672 KachelY 82439 -0.76047098 -0.73386301 -43.571778 -42.047253
    Unten links KachelX 49671 KachelY + 1 82440 -0.76051891 -0.73389860 -43.574524 -42.049292
    Unten rechts KachelX + 1 49672 KachelY + 1 82440 -0.76047098 -0.73389860 -43.571778 -42.049292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73386301--0.73389860) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dl = 226.743889999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73386301--0.73389860) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dr = 226.743889999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76051891--0.76047098) × cos(-0.73386301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742592724628727 × 6371000     		do = 226.759621855998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76051891--0.76047098) × cos(-0.73389860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742568887995514 × 6371000     		du = 226.752343053292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73386301)-sin(-0.73389860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742592724628727-0.742568887995514)×R²
    abs(-0.76047098--0.76051891)×2.38366332128148e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38366332128148e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38366332128148e-05×40589641000000     		ar = 51415.5335478836m²