Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49672 / 115208
↖ ↑ ↗
← S 79.436400°
W 43.571778°		 ← 55.99 m → S 79.436400°
W 43.569031°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
S 79.436903°
W 43.571778°		 ← 55.99 m →
3 136 m²		 S 79.436903°
W 43.569031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378971099853516 y=0.878971099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378971099853516 × 217)
    floor (0.378971099853516 × 131072)
    floor (49672.5)     		tx = 49672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878971099853516 × 217)
    floor (0.878971099853516 × 131072)
    floor (115208.5)     		ty = 115208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49672 / 115208 ti = "17/49672/115208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49672/115208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49672 ÷ 217
    49672 ÷ 131072     		x = 0.37896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115208 ÷ 217
    115208 ÷ 131072     		y = 0.87896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.7579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38112167792743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76047098} λ = -0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38112167792743))-π/2
    2×atan(0.0924468237703973)-π/2
    2×0.0921848030855678-π/2
    0.184369606171136-1.57079632675     		φ = -1.38642672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38642672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.436400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49672 KachelY 115208 -0.76047098 -1.38642672 -43.571778 -79.436400
    Oben rechts KachelX + 1 49673 KachelY 115208 -0.76042304 -1.38642672 -43.569031 -79.436400
    Unten links KachelX 49672 KachelY + 1 115209 -0.76047098 -1.38643551 -43.571778 -79.436903
    Unten rechts KachelX + 1 49673 KachelY + 1 115209 -0.76042304 -1.38643551 -43.569031 -79.436903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38642672--1.38643551) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38642672--1.38643551) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76047098--0.76042304) × cos(-1.38642672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183326860685865 × 6371000     		do = 55.9927420868204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76047098--0.76042304) × cos(-1.38643551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18331821965158 × 6371000     		du = 55.9901028925295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38642672)-sin(-1.38643551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183326860685865-0.18331821965158)×R²
    abs(-0.76042304--0.76047098)×8.64103428499519e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.64103428499519e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.64103428499519e-06×40589641000000     		ar = 3135.58069012511m²