Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49679 / 82447
↖ ↑ ↗
← S 42.063568°
W 43.552551°		 ← 226.75 m → S 42.063568°
W 43.549805°		 →
↑
226.74 m
↓
↑
226.74 m
↓
S 42.065607°
W 43.552551°		 ← 226.74 m →
51 413 m²		 S 42.065607°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379024505615234 y=0.629024505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379024505615234 × 217)
    floor (0.379024505615234 × 131072)
    floor (49679.5)     		tx = 49679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629024505615234 × 217)
    floor (0.629024505615234 × 131072)
    floor (82447.5)     		ty = 82447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49679 / 82447 ti = "17/49679/82447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49679/82447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49679 ÷ 217
    49679 ÷ 131072     		x = 0.379020690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82447 ÷ 217
    82447 ÷ 131072     		y = 0.629020690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379020690917969 × 2 - 1) × π
    -0.241958618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76013542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629020690917969 × 2 - 1) × π
    -0.258041381835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.81066090947477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76013542} λ = -0.76013542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81066090947477))-π/2
    2×atan(0.444564152447945)-π/2
    2×0.418324287491433-π/2
    0.836648574982866-1.57079632675     		φ = -0.73414775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76013542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.552551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73414775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.063568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49679 KachelY 82447 -0.76013542 -0.73414775 -43.552551 -42.063568
    Oben rechts KachelX + 1 49680 KachelY 82447 -0.76008748 -0.73414775 -43.549805 -42.063568
    Unten links KachelX 49679 KachelY + 1 82448 -0.76013542 -0.73418334 -43.552551 -42.065607
    Unten rechts KachelX + 1 49680 KachelY + 1 82448 -0.76008748 -0.73418334 -43.549805 -42.065607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73414775--0.73418334) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dl = 226.743889999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73414775--0.73418334) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dr = 226.743889999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76013542--0.76008748) × cos(-0.73414775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742401991829564 × 6371000     		do = 226.74867773187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76013542--0.76008748) × cos(-0.73418334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742378147672081 × 6371000     		du = 226.741395112426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73414775)-sin(-0.73418334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742401991829564-0.742378147672081)×R²
    abs(-0.76008748--0.76013542)×2.38441574834658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38441574834658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38441574834658e-05×40589641000000     		ar = 51413.0516018429m²