Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49679 / 82449
↖ ↑ ↗
← S 42.067646°
W 43.552551°		 ← 226.73 m → S 42.067646°
W 43.549805°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 42.069685°
W 43.552551°		 ← 226.73 m →
51 395 m²		 S 42.069685°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379024505615234 y=0.629039764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379024505615234 × 217)
    floor (0.379024505615234 × 131072)
    floor (49679.5)     		tx = 49679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629039764404297 × 217)
    floor (0.629039764404297 × 131072)
    floor (82449.5)     		ty = 82449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49679 / 82449 ti = "17/49679/82449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49679/82449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49679 ÷ 217
    49679 ÷ 131072     		x = 0.379020690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82449 ÷ 217
    82449 ÷ 131072     		y = 0.629035949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379020690917969 × 2 - 1) × π
    -0.241958618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76013542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629035949707031 × 2 - 1) × π
    -0.258071899414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.81075678327401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76013542} λ = -0.76013542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81075678327401))-π/2
    2×atan(0.444521532436747)-π/2
    2×0.418288700184679-π/2
    0.836577400369359-1.57079632675     		φ = -0.73421893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76013542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.552551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73421893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.067646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49679 KachelY 82449 -0.76013542 -0.73421893 -43.552551 -42.067646
    Oben rechts KachelX + 1 49680 KachelY 82449 -0.76008748 -0.73421893 -43.549805 -42.067646
    Unten links KachelX 49679 KachelY + 1 82450 -0.76013542 -0.73425451 -43.552551 -42.069685
    Unten rechts KachelX + 1 49680 KachelY + 1 82450 -0.76008748 -0.73425451 -43.549805 -42.069685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73421893--0.73425451) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dl = 226.680179999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73421893--0.73425451) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dr = 226.680179999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76013542--0.76008748) × cos(-0.73421893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742354302574265 × 6371000     		do = 226.73411220578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76013542--0.76008748) × cos(-0.73425451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742330463236488 × 6371000     		du = 226.726831058398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73421893)-sin(-0.73425451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742354302574265-0.742330463236488)×R²
    abs(-0.76008748--0.76013542)×2.38393377774981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38393377774981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38393377774981e-05×40589641000000     		ar = 51395.3041264352m²