Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49680 / 115216
↖ ↑ ↗
← S 79.440427°
W 43.549805°		 ← 55.97 m → S 79.440427°
W 43.547058°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
S 79.440931°
W 43.549805°		 ← 55.97 m →
3 134 m²		 S 79.440931°
W 43.547058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379032135009766 y=0.879032135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379032135009766 × 217)
    floor (0.379032135009766 × 131072)
    floor (49680.5)     		tx = 49680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879032135009766 × 217)
    floor (0.879032135009766 × 131072)
    floor (115216.5)     		ty = 115216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49680 / 115216 ti = "17/49680/115216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49680/115216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49680 ÷ 217
    49680 ÷ 131072     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115216 ÷ 217
    115216 ÷ 131072     		y = 0.8790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38150517312439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38150517312439))-π/2
    2×atan(0.0924113776546491)-π/2
    2×0.0921496572257766-π/2
    0.184299314451553-1.57079632675     		φ = -1.38649701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38649701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.440427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49680 KachelY 115216 -0.76008748 -1.38649701 -43.549805 -79.440427
    Oben rechts KachelX + 1 49681 KachelY 115216 -0.76003954 -1.38649701 -43.547058 -79.440427
    Unten links KachelX 49680 KachelY + 1 115217 -0.76008748 -1.38650580 -43.549805 -79.440931
    Unten rechts KachelX + 1 49681 KachelY + 1 115217 -0.76003954 -1.38650580 -43.547058 -79.440931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38649701--1.38650580) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dl = 56.0010899991701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38649701--1.38650580) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dr = 56.0010899991701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.76003954) × cos(-1.38649701) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18325776150698 × 6371000     		do = 55.9716374191058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.76003954) × cos(-1.38650580) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183249120359451 × 6371000     		du = 55.9689981902273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38649701)-sin(-1.38650580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18325776150698-0.183249120359451)×R²
    abs(-0.76003954--0.76008748)×8.64114752907597e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64114752907597e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64114752907597e-06×40589641000000     		ar = 3134.39880459217m²