Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49696 / 115232
↖ ↑ ↗
← S 79.448478°
W 43.505859°		 ← 55.93 m → S 79.448478°
W 43.503113°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
S 79.448980°
W 43.505859°		 ← 55.93 m →
3 125 m²		 S 79.448980°
W 43.503113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379154205322266 y=0.879154205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379154205322266 × 217)
    floor (0.379154205322266 × 131072)
    floor (49696.5)     		tx = 49696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879154205322266 × 217)
    floor (0.879154205322266 × 131072)
    floor (115232.5)     		ty = 115232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49696 / 115232 ti = "17/49696/115232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49696/115232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49696 ÷ 217
    49696 ÷ 131072     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115232 ÷ 217
    115232 ÷ 131072     		y = 0.879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.75830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38227216351831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38227216351831))-π/2
    2×atan(0.0923405261903686)-π/2
    2×0.09207940524392-π/2
    0.18415881048784-1.57079632675     		φ = -1.38663752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38663752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.448478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49696 KachelY 115232 -0.75932049 -1.38663752 -43.505859 -79.448478
    Oben rechts KachelX + 1 49697 KachelY 115232 -0.75927255 -1.38663752 -43.503113 -79.448478
    Unten links KachelX 49696 KachelY + 1 115233 -0.75932049 -1.38664629 -43.505859 -79.448980
    Unten rechts KachelX + 1 49697 KachelY + 1 115233 -0.75927255 -1.38664629 -43.503113 -79.448980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38663752--1.38664629) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38663752--1.38664629) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75927255) × cos(-1.38663752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183119629249642 × 6371000     		do = 55.9294482720608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75927255) × cos(-1.38664629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183111007537709 × 6371000     		du = 55.9268149793138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38663752)-sin(-1.38664629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183119629249642-0.183111007537709)×R²
    abs(-0.75927255--0.75932049)×8.62171193219408e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62171193219408e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62171193219408e-06×40589641000000     		ar = 3124.9099702458m²