Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49727 / 82497
↖ ↑ ↗
← S 42.165440°
W 43.420716°		 ← 226.38 m → S 42.165440°
W 43.417969°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 42.167475°
W 43.420716°		 ← 226.38 m →
51 244 m²		 S 42.167475°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379390716552734 y=0.629405975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379390716552734 × 217)
    floor (0.379390716552734 × 131072)
    floor (49727.5)     		tx = 49727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629405975341797 × 217)
    floor (0.629405975341797 × 131072)
    floor (82497.5)     		ty = 82497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49727 / 82497 ti = "17/49727/82497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49727/82497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49727 ÷ 217
    49727 ÷ 131072     		x = 0.379386901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82497 ÷ 217
    82497 ÷ 131072     		y = 0.629402160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379386901855469 × 2 - 1) × π
    -0.241226196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75783445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629402160644531 × 2 - 1) × π
    -0.258804321289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.813057754455772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75783445} λ = -0.75783445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813057754455772))-π/2
    2×atan(0.443499877051497)-π/2
    2×0.417435290674425-π/2
    0.83487058134885-1.57079632675     		φ = -0.73592575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75783445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.420716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73592575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.165440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49727 KachelY 82497 -0.75783445 -0.73592575 -43.420716 -42.165440
    Oben rechts KachelX + 1 49728 KachelY 82497 -0.75778651 -0.73592575 -43.417969 -42.165440
    Unten links KachelX 49727 KachelY + 1 82498 -0.75783445 -0.73596128 -43.420716 -42.167475
    Unten rechts KachelX + 1 49728 KachelY + 1 82498 -0.75778651 -0.73596128 -43.417969 -42.167475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73592575--0.73596128) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73592575--0.73596128) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75783445--0.75778651) × cos(-0.73592575) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741209639552368 × 6371000     		do = 226.384502655791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75783445--0.75778651) × cos(-0.73596128) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741185788732881 × 6371000     		du = 226.3772180016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73592575)-sin(-0.73596128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741209639552368-0.741185788732881)×R²
    abs(-0.75778651--0.75783445)×2.38508194873033e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38508194873033e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38508194873033e-05×40589641000000     		ar = 51243.9405502899m²