Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49728 / 82496
↖ ↑ ↗
← S 42.163403°
W 43.417969°		 ← 226.39 m → S 42.163403°
W 43.415222°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 42.165440°
W 43.417969°		 ← 226.38 m →
51 260 m²		 S 42.165440°
W 43.415222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379398345947266 y=0.629398345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379398345947266 × 217)
    floor (0.379398345947266 × 131072)
    floor (49728.5)     		tx = 49728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629398345947266 × 217)
    floor (0.629398345947266 × 131072)
    floor (82496.5)     		ty = 82496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49728 / 82496 ti = "17/49728/82496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49728/82496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49728 ÷ 217
    49728 ÷ 131072     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82496 ÷ 217
    82496 ÷ 131072     		y = 0.62939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.813009817556152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813009817556152))-π/2
    2×atan(0.443521137570162)-π/2
    2×0.41745305660638-π/2
    0.834906113212761-1.57079632675     		φ = -0.73589021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73589021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.163403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49728 KachelY 82496 -0.75778651 -0.73589021 -43.417969 -42.163403
    Oben rechts KachelX + 1 49729 KachelY 82496 -0.75773857 -0.73589021 -43.415222 -42.163403
    Unten links KachelX 49728 KachelY + 1 82497 -0.75778651 -0.73592575 -43.417969 -42.165440
    Unten rechts KachelX + 1 49729 KachelY + 1 82497 -0.75773857 -0.73592575 -43.415222 -42.165440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73589021--0.73592575) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dl = 226.425340000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73589021--0.73592575) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dr = 226.425340000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75773857) × cos(-0.73589021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741233496148639 × 6371000     		do = 226.391789073837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75773857) × cos(-0.73592575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741209639552368 × 6371000     		du = 226.384502655267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73589021)-sin(-0.73592575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741233496148639-0.741209639552368)×R²
    abs(-0.75773857--0.75778651)×2.38565962712434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38565962712434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38565962712434e-05×40589641000000     		ar = 51260.0129047846m²