Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49730 / 82498
↖ ↑ ↗
← S 42.167475°
W 43.412476°		 ← 226.38 m → S 42.167475°
W 43.409729°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 42.169511°
W 43.412476°		 ← 226.37 m →
51 242 m²		 S 42.169511°
W 43.409729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379413604736328 y=0.629413604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379413604736328 × 217)
    floor (0.379413604736328 × 131072)
    floor (49730.5)     		tx = 49730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629413604736328 × 217)
    floor (0.629413604736328 × 131072)
    floor (82498.5)     		ty = 82498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49730 / 82498 ti = "17/49730/82498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49730/82498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49730 ÷ 217
    49730 ÷ 131072     		x = 0.379409790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82498 ÷ 217
    82498 ÷ 131072     		y = 0.629409790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.241180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75769064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.258819580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813105691355392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75769064} λ = -0.75769064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813105691355392))-π/2
    2×atan(0.443478617551971)-π/2
    2×0.417417525314147-π/2
    0.834835050628293-1.57079632675     		φ = -0.73596128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75769064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.412476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73596128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.167475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49730 KachelY 82498 -0.75769064 -0.73596128 -43.412476 -42.167475
    Oben rechts KachelX + 1 49731 KachelY 82498 -0.75764270 -0.73596128 -43.409729 -42.167475
    Unten links KachelX 49730 KachelY + 1 82499 -0.75769064 -0.73599681 -43.412476 -42.169511
    Unten rechts KachelX + 1 49731 KachelY + 1 82499 -0.75764270 -0.73599681 -43.409729 -42.169511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73596128--0.73599681) × R
    3.55299999998948e-05 × 6371000     		dl = 226.36162999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73596128--0.73599681) × R
    3.55299999998948e-05 × 6371000     		dr = 226.36162999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75769064--0.75764270) × cos(-0.73596128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741185788732881 × 6371000     		do = 226.377218001075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75769064--0.75764270) × cos(-0.73599681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741161936977735 × 6371000     		du = 226.369933061109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73596128)-sin(-0.73599681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741185788732881-0.741161936977735)×R²
    abs(-0.75764270--0.75769064)×2.38517551459649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38517551459649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38517551459649e-05×40589641000000     		ar = 51242.291551426m²